2005 FRANCE

QUATRE SATELLITES TERRESTRES ARTIFICIELS (Sans calculatrice) PARTIE 1- Le premier satellite artificiel. 1- Force exercée par la Terre sur Spoutnik 1 :

r m S .MT r Fg = −G u (R T + h)2

2- Expression vectorielle de l'accélération du satellite. Deuxième loi de Newton :

∑F

r

ext

r = mS .a

r r mS .MT r donc Fg = mS .a = − G u on isole le vecteur (R T + h)2 r MT u 2 (R T + h)

accélération : r a = −G

PARTIE 2- Les satellites artificiels à orbites circulaires. 1- Etude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique

a- Montrons que le mouvement circulaire de Hubble est uniforme. Si le mouvement est uniforme alors il faut montrer que la vitesse reste constante. Plaçons nous rr dans le repère de Frênet : (S, n, t ) :

D’après la deuxième loi de Newton : les vecteurs représentant Fg et a sont dans le même sens donc le vecteur accélération est centripète ; ses coordonnées sont dans le repère de Frênet : r r r r r a = a n + a t = an .n + a t . t or an = v2 / (RT+h) et at = dv/dt
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puisque le vecteur accélération est centripète alors cela signifie qu’il n’a pas de composante sur la tangente T donc at = 0 d’où : dv/dt = 0 il faut alors que v = constante. Le mouvement est uniforme. b- Vitesse en fonction des grandeurs MT, RT, h et G . r On sait que : a = −G v2 (R T + h)

r MT MT u alors a = an = G équation (1) 2 (R T + h) (R T + h)2

et an =

équation (2).

(1) = (2) donc G

v2 MT = (R T + h)2 (R T + h)

on isole v2 : v2 = G

MT (R T + h)

donc v =

MT G (RT +h)

c- Période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis retrouvons la troisième loi de Kepler On sait que v = distance / temps choisissons comme distance 1 tour soit 2π(RT+h) Le temps mis pour faire un tour est T d’où : v= 2π(RT +h) MT et v= G T (RT +h) il vient : 2π(RT +h) MT G = T (RT +h)

Elevons au carré :
2  2π(R +h)  MT   T G =  T  (RT +h)    isolons T2 :