Lois de conservation

Pages: 3 (568 mots) Publié le: 1 mars 2012
Lois de conservation
[modifier] Formulation différentielle

Il existe bien des formes des équations de Navier-Stokes. Nous n'en présenterons que certaines. Ces formes dépendent aussi desnotations utilisées. Ainsi, il existe plusieurs façons équivalentes d'exprimer les équations de conservation en termes d’opérateurs différentiels.

La formulation différentielle générale de ces équationsest :

Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0

Équation de bilan de la quantitéde mouvement
\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\nabla} p +\overrightarrow{\nabla} \cdot \overline{\overline {\tau}} + \rho \vec{f}

Équation de bilan de l'énergie
\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left[ \; \left(\rhoe + p\right) \vec{v} \; \right] = \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \overline{\overline {\tau}} \cdot \vec{v} \right) + \rho \vec{f} \cdot \vec{v} -\overrightarrow{\nabla} \cdot (\vec{\dot{q}}) +r

Dans ces équations :

t représente le temps (unité SI : s) ;

ρ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg⋅m-3) ;

\vec{v} = ( v_1, v_2, v_3 ) désigne la vitesseeulérienne d'une particule fluide (unité SI : m⋅s-1) ;

p désigne la pression (unité SI : Pa) ;

\overline{\overline{\tau}} = \left( \tau_{i,j} \right)_{i,j} est le tenseur des contraintesvisqueuses (unité SI : Pa) ;

\vec{f} désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : N⋅kg-1) ;

e est l'énergie totale par unité de masse (unité SI :J⋅kg-1) ;

\vec{\dot{q}} est le flux de chaleur perdu par conduction thermique (unité SI : J⋅m-2⋅s-1) ;

r représente la perte de chaleur volumique due au rayonnement (unité SI : J⋅m-3⋅s-1)....
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