Le modèle de Black-Scholes

Depuis le début de la finance, les mathématiciens ont essayé de comprendre comment les marchés évoluent. Dans les années soixante-dix, les mathématiciens Black, Scholes et Merton établissent une théorie pour déterminer le prix d'une option. Cette nouvelle méthode leur a valu de recevoir le prix Nobel d'économie en 1997. Officiellement Black ne l'a pas reçu car il est décédé avant l'attribution du prix. Les marchés financiers remplissent en grande partie les conditions de ce modèle. Par conséquent la méthode Black-Scholes a un grand succès dans le marché des options. Afin de bien comprendre le concept, le marché financier sera simplifié et l'étude sera fait en temps discret. Pour obtenir la formule exacte de Black-Scholes, il ne restera plus qu'a passer en temps continu.

I) Des conditions particulières
La formule de Black-Scholes ne s'applique pas à tout objet financier. En effet, elle est consacré aux options européenne ne payant pas de dividende. Une option européenne est le fait que l'on achète le droit d'acheter une action à une valeur et à une date fixé. L'acheteur n'est pas obligé d'activer l'option. Pour mieux comprendre, le marché est simplifié en quatre produits : action, compte épargne, option d'achat européen et vente à découvert. Notre marché n'as pas de cout de transaction.
L'action A : on défini la valeur de l'action au moment t : S(t). Au temps t+1, l'action peut avoir de nombreuses valeurs, toujours dans un souci de simplification nous prendrons la valeur haute et la valeur basse. Donc S(t+1)= bS(t) ou hS(t).
Le compte épargne : il permet de stocker de l'argent sur un compte et d'obtenir un intérêt sur une période. Notons r le taux d'intérêt sur une période t=1 : C(t+1)= (1+r)C(t)
L'option d'achat européenne de sous-jacent A : c'est notre acteur principal. Il s'agit d'acheter une action A à un moment T à un prix K convenu. Notons V(0) le prix d'achat de l'option initial et V(t) sa valeur à l'instant t. Tout