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Les primitives
Primitives des fonctions r´elles e
Ce cours porte exclusivement sur la notion de primitive relative aux fonctions r´elles. e

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L’id´e g´n´rale e e e

Une fonction r´elle est un op´rateur qui associe automatiquement a un e e ` nombre r´el, appel´ ant´c´dent, un autre nombre r´el, appel´ image. e e e e e e Une fonction est telle qu’un ant´c´dent n’a qu’une seule image, mais qu’une e e image peut avoir plusieurs ant´c´dents. e e

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2.1

La th´orie e
Une primitive d’une fonction r´elle e

Soit f une fonction r´elle d´finie sur un intervalle I. e e On appelle fonction primitive, ou primitive, de f sur I toute fonction F d´rivable sur I et telle que sa d´riv´e soit ´gale a f : e e e e ` ∀x ∈ I, F = f

2.2

Les primitives d’une fonction r´elle e

Soit f une fonction r´elle d´finie sur un intervalle I. e e Lorsque la fonction f admet sur I une primitive F , l’ensemble des primitives de f sur I est l’ensemble des fonctions de la forme F + ξ, o` ξ est une u constante qui d´crit R. e

2.3

Existence de primitives d’une fonction r´elle e

Soit f une fonction r´elle d´finie sur un intervalle I. e e La fonction f admet des primitives sur I lorsque f est continue sur I.

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Attention !

Avant de d´terminer une primitive d’une fonction, il faut absolument e d’une part d´terminer son ensemble de d´finition, et d’autre part v´rifier que e e e la fonction consid´r´e est continue sur cet intervalle. ee

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4.1

Exercices pratiques
Exercice 1
D´terminer une primitive de la fonction f d´finie sur R par : e e 1 f :x →2− 2 x

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Avant de s’int´resser a une primitive de la fonction f , il faut s’occuper e ` de son ensemble de d´finition et de sa continuit´. Ici, nul n’est besoin de e e d´terminer l’ensemble de d´finition de f puisqu’il est donn´. De plus, f est e e e continue sur R (voir le cours “La continuit´ - G´n´ralit´s”), donc f ade e e e met des