Exo7
Fonctions dérivables

1

Calculs

Exercice 1
Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par :
√
f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1

si x > 1

soit dérivable sur R∗+ .
Indication

Correction

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[000699]

Exercice 2
1
Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0.
Indication

Correction

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[000700]

Exercice 3
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
1
f1 (x) = x2 cos , si x = 0 x f1 (0) = 0;

;

1 f2 (x) = sin x · sin , si x = 0
;
x
√
|x| x2 − 2x + 1 f3 (x) =
, si x = 1
;
x−1
Indication

Correction

f2 (0) = 0;

f3 (1) = 1.

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[000698]

Exercice 4
Soit n 2 un entier fixé et f : R+ = [0, +∞[−→ R la fonction définie par la formule suivante : f (x) =
1.

1 + xn
, x
(1 + x)n

0.

(a) Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f (x) pour x

0.

(b) En étudiant le signe de f (x) sur R+ , montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on déterminera.
2.

(a) En déduire l’inégalité suivante :
(1 + x)n

2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ .

1

(b) Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a
(x + y)n
Correction

2

2n−1 (xn + yn ).

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[000739]

Théorème de Rolle et accroissements finis

Exercice 5
Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles.
Indication

Correction

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[000717]

Exercice 6
Montrer que le polynôme Pn défini par
Pn (t) =

1 − t2

n (n)

est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1].
Indication

Correction

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[000715]

Exercice 7
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2 + β x + γ sur l’intervalle [a, b] préciser le nombre “c” de ]a, b[. Donner une interprétation