Année Scolaire 2009–2010
Lycée Guez De Balzac

MATHÉMATIQUES MPSI
. . DS N˚4

Samedi 05/12/2009 (4h)

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction: les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés .

La calculatrice et les formulaires sont interdits.

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Problème 1 − − − → On considère R = (O, →, →, k ) un repère orthonormé direct de l’espace usuel. Pour tout réel m, on ı  considère l’ensemble S m d’équation cartésienne : S m x 2 + y 2 + z 2 − 2mz 2 + m 2 − 2 = 0 On appelle aussi E l’ensemble des points vérifiant l’équation : E x2 + y 2 = z2 + 2 On note enfin P le plan d’équation y = 0, c’est à dire le plan (xOz). Q1) Démontrer que, pour tout réel m, S m est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon. Q2) Montrer que l’intersection de P et de E est une conique G, dont on déterminera la nature et les asymptotes éventuelles. Q3) Représenter dans le plan P la conique G. Q4) Donner l’excenticité ainsi que les coordonnées du ou des foyer(s) dans le repère R de la conique G. Q5) Pour tout θ ∈ R, on définit la droite (Dθ ) ayant pour système d’équations cartésiennes :  x − z cos(θ) = 2 sin(θ) (Dθ ) :  y − z sin(θ) = − 2 cos(θ) Pour tout θ ∈ R, déterminer un point et un vecteur directeur de la droite (Dθ ). On choisira un vecteur directeur dont la troisième coordonnée est égale à 1. Q6) Soit θ et m deux réels quelconques. Prouver que la droite (Dθ ) est tangente à la sphère S m . Q7) Montrer que pour tout θ ∈ R, la droite (Dθ ) est incluse dans E . Q8) Réciproquement, montrer que si M est un point de l’ensemble E de coordonnées (x, y, z) dans le repère R, alors il existe un réel θ tel que M appartienne à la droite (Dθ ). Q9) Que peut-on déduire des deux questions précédentes ? (Mines de sup 2009, épreuve commune, extrait)

Problème 2

Pour n ∈ N, on pose S n =

n ∑ (−1)k , u n = S 2n et v n = S