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Concours Commun National 1997 . MAROC MATHEMATIQUES II Epreuve d’ag`bre et de g´om´trie e e e Option MP dur´e : 4 heures e

Les candidats sont inform´s que la pr´cision des raisonnements ainsi que le soin apport´ a la r´daction e e e` e seront des ´l´ments pris en compte dans la notation. Les repr´sentations graphiques et les dessins ee e correctement ex´cut´s seront appr´ci´s. e e e e Dans tout le probl`me, En d´signe un espace vectoriel euclidien orient´ de dimension n ≥ 1, muni du e e e produit scalaire not´ (x|y). La norme euclidienne associ´e est not´e ||x|| = (x, x). e e e e On note L(En ) l’ensemble des endomorphismes de En , S(En ) l’ensemble des endomorphismes sym´triques de En , O(En ) son groupe orthogonal et GL(En ) l’ensemble des endomorphismes inversibles de En . Par la suite, φ d´signe un autre produit scalaire sur En et on note Sφ = {x ∈ En / φ(x, x) = 1}. e I – Premi`re partie e 1. Montrer qu’il existe u ∈ S(En ) ayant toutes ses valeurs propres strictement positives tel que :
2 ∀(x, y) ∈ En , φ(x, y) = (u(x)|y).

2. Trouver v ∈ S(En ) ayant toutes ses valeurs propres strictement positives tel que v 2 = vov = u. 2 Montrer que φ(x, y) = (v(x)|v(y)) pour tout (x, y) ∈ En . 3. Soit B = (e1 , . . . , en ) une base orthonorm´e de En . Montrer que B = (v −1 (e1 ), . . . , v −1 (en )) est e une base φ-orthogonale, c’est ` dire orthogonale pour le produit scalaire φ. a 4. Soit f un ´l´ment de O(En ). ee 2 Montrer que v −1 of ov ∈ O(φ), o` O(φ) = {g ∈ L(En ) / ∀(x, y) ∈ En , φ(g(x), g(y)) = φ(x, y)}. u En d´duire O(φ) en fonction de O(En ). e 5. Dans cette question E2 = R2 muni du produit scalaire canonique, et, pour tout (x, y) ∈ R2 , φ((x, y), (x, y)) = x2 − xy + y 2 . (a) V´rifier que φ est bien un produit scalaire sur R2 . e (b) Tracer Sφ dans le plan. (c) D´terminer la matrice de v dans la base canonique. e (d) En d´duire la forme matricielle g´n´rale des ´l´ments de O(φ). On pourra laisser le r´sultat e e e ee e sous