Une introduction au contrˆle de qualit´ o e
Pierre R. Bertrand Universit´ de Clermont-Ferrand 2 e
Courriel : bertrand@math.univ-bpclermont.fr

December 8, 2007

1 σ2. Description du probl`me, un cas simple e

Notation : On note N (µ, σ) une loi normale de moyenne µ et d’´cart-type σ, donc de variance e

On observe une suite de variables al´atoires gaussiennes ind´pendantes X1 , X2 , . . . , Xn . On e e consid`re que le syst`me est sous contrˆle si les variables Xi suivent une loi normale de moyenne e e o µ0 et d’´cart-type σ sp´cifi´s et qu’il est hors contrˆle si ` partir d’un instant r la moyenne e e e o a a vari´ d’une quantit´ δ. On souhaite d´tecter un ´ventuel dysfonctionnement du syst`me et e e e e e estimer l’instant d’occurence du changement. D’un point de vue statistique, on formalise le probl`me par le test d’hypoth`se suivant : e e (H0) le processus X est sous contrˆle si Xi ∈ N (µ0 , σ) pour tout i = 1, . . . , n avec des o param`tres µ0 et σ connus. e (H1) le processus X est hors contrˆle s’il existe un instant r < n tel que Xi ∈ N (µ0 , σ) pour o i ≤ r − 1 et Xi ∈ N (µ0 + δ, σ) pour i ≥ r avec δ > 0. Le test pr´c´dant est un probl`me de d´tection s´quentielle unilat´ral. e e e e e e Un peu de terminologie : • On pourrait aussi consid´rer un probl`me bilat´ral, en prenant une hypoth`se alternative e e e e (H1) avec δ > 0 ou δ < 0. • Dans la pratique, la distinction entre contrˆle destructif et contrˆle non destructif est o o fondamentale. Le contrˆle destructif correspond par exemple ` des tests d’accident sur o a une voiture, ou d’analyse d’un vin, d’un aliment... Le cas non destructif correspond 1

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Introduction au contrˆle de qualit´ o e ` la mesure du temps d’acheminement d’un courriel, d’un appel t´l´phonique, ` celle a ee a du poids d’un sachet d’un kilo de sucre ` la sortie de la chaˆ a ıne... Implicitement, nous consid´rons dans toute la suite des cartes de contrˆle dans le cas non destructif. e o • On distingue d´tection