matAut o u r d e s fo n ct i on s c irc u la ire s e t d e s n om b re s com pl ex e s

487 π π 1 ) = sin( + π) = − . D’o` α = 23π . u 6 6 2 π 835 π ) = tan(− ). D’o` β = − π , puisque − π ∈] − π , π [. u – On a tan( 4 4 2 2 4 4 683 π π – On a sin(− ) = sin( ). D’o` γ = π puisque π ∈ [− π , π ]. u 3 3 2 2 3 3 2. Le syst`me a r´soudre est ´quivalent au syst`me lin´aire d’inconnues x et y e ` e e e e 1. – On a sin( (3 x + 2 y) ln 2 = ln 5 2 x ln 4 = (2 y + 3) ln 2 qui se r´´crit : ee (2 ln 4) x + (2 ln 2) y (3 ln 2) x − ( 2 ln 2) y (2 ln 4) x + (2 ln 2) y (7 ln 2) x On trouve comme unique solution le couple ln (40) ln 625 512 , 7 ln (2) 14 ln (2) . = 3 ln 2 = ln 5

Rajoutons a la seconde ´quation la premi`re. Il vient : ` e e = 3 ln 2 = ln 40

1. f est la compos´e de arctan et g donn´e par g(t) = e e f = arctan ◦f.

Cette derni`re fonction est d´finie d`s lors que 1 − cos(t) = 0, c’est-`-dire pour t ∈ 2πZ. e e e a Puisque arctan est d´finie sur R, le domaine de d´finition de f est celui de g : e e R \ 2πZ. La fonction g est le quotient de deux fonctions d´rivables sur R : elle est donc d´rivable e e sur R \ 2πZ. De son cˆt´, arctan est d´rivable sur R. Il en r´sulte que f est la compos´e de oe e e e 1

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Exercices d’application du cours ´ Exercice 2 — Etude de fonction. sin(t) 1−cos(t)

:

deux fonctions d´rivables sur leur domaine de d´finition, donc f est d´rivable sur R \ 2πZ e e e comme compos´e de fonctions d´rivables. e e 2. La fonction f est p´riodique de p´riode 2 π : e e – si t ∈ R \ 2πZ, alors t + 2 π ´galement ; e sin(t) sin(t+2 π) – f (t + 2 π) = arctan( 1−cos(t+2 π) ) = arctan( 1−cos(t) ) = f (t) pour tout t ∈ R \ 2πZ. On peut donc restreindre l’´tude de f a [−π, 0[∪]0, π]. e ` Par ailleurs la fonction f est impaire : – si t ∈ R \ 2πZ, alors −t ´galement ; e sin(t) sin(−t) – f (−t) = arctan( 1−cos(−t) ) = arctan(− 1−cos(t) ) = −f (t) pour tout t ∈ R \ 2πZ. On