HEI 2

Année scolaire 2011-2012
COURS DE MATHEMATIQUES
CHAPITRE 1 : COURBES

La droite affine E1 est munie de son repère orthonormé canonique (O, i ).
Le plan affine E2 est muni de son repère orthonormé canonique (O, i , j ).
L'espace affine E3 est muni de son repère orthonormé canonique (O, i , j , k ).
Pour tout entier n ∈ {1, 2, 3} on note En l'un quelconque des trois ensembles précédents
I. Différents types de courbes.
Nous ne donnons pas la définition générale d'une courbe dans En. Dans un premier temps nous nous contentons d'appeler "courbe" certaines parties Γ de En définies par certains types d'équations dans les paragraphes 1) à 4) ci-dessous. Nous verrons plus tard d'autres types de courbes (intersection de deux surfaces, par exemple).
Une courbe Γ est dite rectiligne (resp. plane, gauche) si elle est incluse dans E1 (resp; E2, E3).
1) Courbe d'équation y = f (x).
Rappel : il s'agit d'une courbe plane, représentation graphique d'une fonction f : ℝ → ℝ.
2) Courbe d'équation F (x, y) = 0.
a) Il s'agit d'une courbe plane, ensemble des points M (x, y) vérifiant F (x, y) = 0 pour une fonction F :
ℝ2 → ℝ.
b) Remarques.
i) Toute courbe Γ d'équation y = f (x) est un cas particulier en posant : F (x, y) = f (x) – y. ii) Mais réciproquement, si une courbe Γ est donnée par une équation du type F (x, y) = 0, on ne sait pas en général lui asssocier une équation du type y = f (x) ou x = f (y).
c) Quelques exemples fondamentaux.
i) Le cercle : (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2. ii) L'ellipse et l'hyperbole.
Soient a et b deux réels strictement positifs. x2 y2
La courbe plane d'équation 2 + 2 = 1 s'appelle ellipse. a b
2
x y2 La courbe plane d'équation 2 − 2 = 1 s'appelle hyperbole. a b
Représentation graphique et résumé des propriétés essentielles :

b
Hyperbole

Hyperbole
-a

O

a
Ellipse

-b

3) Courbe paramétrée.
a) Définition.
Une courbe paramétrée de E3 est l'ensemble Γ des points M (x, y, z) tels que :

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