Durée : 4 heures

Baccalauréat S Centres étrangers juin 2005

3 points E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie : A Restitution organisée de connaissances En fait la démonstration n’en n’est pas une puisque tous les éléments de la démonstration sont donnés dans les prérequis. Partie B 1 1 2 1. VRAI : z 2 = − i, et z 4 = z 2 = − ∈ R. 2 4 2. FAUX : si z = a + ib, z = a − ib et z + z = 0 ⇐⇒ 2a = 0 ⇐⇒ a = 0. Donc tous les imaginaires de la forme bi avec b = 0 vérifient la relation sans être nuls. z2 + 1 1 = 0 ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ z 2 +1 = 0 (z = 0) ⇐⇒ (z +i)(z −i) = 0 ⇐⇒ z z z = −i ou z = i. 2iπ 3 3 1 1 4. FAUX : Si z = 1 et z ′ = e 3 = − +i , alors z +z ′ = +i , |z| = 1 et |z +z ′ | = 2 2 2 2 1 3 + = 1 = 1 et z ′ = 0. 4 4 3. VRAI : z +

E XERCICE 2 Réservé aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

5 points

1. Si p 1 , p 2 , p 3 et p 4 dans cet ordre, forment une progression arithmétique de raison r , alors p 2 = p 1 + r, p 3 = p 1 + 2r et p 4 = p 1 + 3r . On a donc : p4 p 1 + p 1 + r + p 1 + 2r + p 1 + 3r p 1 + 3r 4p 1 + 6r = = 0, 4 1 = = p 1 + 3r = 0, 4 1 (loi des probabilités totales) ⇐⇒

⇐⇒

2p 1 + 6r 4p 1 + 6r

= =

0, 8 =⇒ 2p 1 = 0, 2 ⇐⇒ p 1 = 0, 1. 1

On en déduit aussitôt que r = 0, 1 et finalement : p 1 = 0, 1, p 2 = 0, 2, p 3 = 0, 3, p 4 = 0, 4. 2. a. La probabilité d’obtenir dans l’ordre 1, 2, 4 est p 124 = 0, 1 × 0, 2 × 0, 4 = 0, 008. b. Les tirages donnant trois nombres distincts croissants sont : (1, 2, 3), (1, 2, 4) , (1, 3, 4) et (2, 3, 4). La probabilité d’avoir l’un de ces tirages est donc : p 1 ×p 2 ×p 3 +p 1 ×p 2 ×p 4 +p 2 ×p 3 ×p 4 +p 2 ×p 3 ×p 4 = 0, 006+0, 008+0, 012+0, 024 = 0, 05. 3. a. On a un schéma de Bernouilli avec n = 10 et p 4 = 0, 4. On sait que la probabilité d’obtenir i fois le chiffre 4 est (pour 0 i 10) : p(X = i ) = 10 10 0, 4i (1 − 0, 4)10−i = 0, 4i 0, 610−i . i i

Baccalauréat S

b. On a E(X ) =

10 0, 4i 0, 610−i = 4. i i=0 i=0 Cela signifie que sur un grand nombre de tirages le 4 sortira