[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juillet 2012

Enoncés Exercice 7 [ 01497 ] [correction] Soient A et B deux parties de E, on appelle différence symétrique de A et B, l’ensemble A ∆ B = (A\B) ∪ (B\A) Montrer A∆B = (A ∪ B)\(A ∩ B)

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Ensembles
Exercice 1 [ 01491 ] [correction] Soit E = {a, b, c} un ensemble. Peut-on écrire : a) a ∈ E b) a ⊂ E c) {a} ⊂ E d) ∅ ∈ E e) ∅ ⊂ Ef) {∅} ⊂ E ? Exercice 2 [ 01492 ] [correction] Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu’il réunit les éléments d’un ensemble vérifiant une propriété. Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu’on cite ses éléments. Par exemple, {n ∈ Z/∃k ∈ Z, n = 2k} et {2k/k ∈ Z} sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l’ensemble des entiers pairs. a) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble {1, 3, 5, 7, . . .}. b) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble {1, 10, 100, 1000, . . .}. c) Décrire en extension l’ensemble des nombres rationnels. d) Décrire en compréhension l’ensemble ]0, 1]. e) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble des valeurs prises par une fonction f : R → R. f) Décrire en compréhension l’ensemble des antécédents d’un réel y par une fonction f : R → R. Exercice 3 [ 01493 ] [correction] Décrire P(P({a})) où a désigne un élément. Exercice 4 [ 01494 ] [correction] Soient A, B, C ∈ P(E). Etablir A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C) Exercice 5 [ 01495 ] [correction] Etant donné A et B deux parties de E, justifier CE A\CE B = B\A. Exercice 6 [ 01496 ] [correction] Etant donné A, B et C trois parties de E, justifier les équivalences suivantes : a) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B. b) A = B ⇔ A ∩ B = A ∪ B. c) A ∪ B = A ∩ C ⇔ B ⊂ A ⊂ C A∪B =A∪C d) ⇔B=C A∩B =A∩C

Exercice 8 [ 01498 ] [correction] Etant donné A, B et C trois parties d’un ensemble E, montrer que : a) A∆B = A∆C ⇔ B = C b) A\B = A ⇔ B\A = B c) A∆B = A ∩ B ⇒ A = B = ∅.

Exercice 9 [ 01499 ] [correction] Soient A, B deux parties de E. Discuter et résoudre l’équation A ∪ X = B