D evoirs
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1à5

Devoirs – MA02-12

307

D evoir 1
Attention


à envoyer à la correction

C  ollezl’étiquettecodéeMA02 – DEVOIR 01surla1repage devotredevoir.Sivousnel’avezpasreçue,écrivezlecode MA02 – DEVOIR 01,ainsiquevosnometprénom. L  asaisieinformatiséedesdevoirsnepermetaucuneerreur decode. Veuillezréalisercedevoiraprèsavoirétudiélaséquence1. 

Important

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

Exercice 1

(3,5 points)

1 Restitution organisée des connaissances

On considère un et v n que lim v n = +∞ . n →+∞

( )

( )

deux suites telles qu’à partir d’un certain rang N, un ≥ v n et

a) Que signifie, par définition, que lim v n = +∞ ? n →+∞ b) Que peut-on dire de la limite de un ? Prouver le résultat annoncé.
2 On considère la suite u n

( )

( ) définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈» , ( )

un +1 = −un + 2n + 1.

a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un = n + ( −1)n . b) Déterminer alors la limite de un .

Exercice 2

(7,5 points)

3u + 2 Soit (un ) la suite définie par u 0 = 6 et un +1 = n pour n ≥ 0. un + 4 3x + 2 1 Démontrer que la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par f (x ) = est croissante sur 0 ; +∞ . x +4
2 a) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on dispose page suivante de la représentation

graphique de la fonction f. En laissant apparent les traits de construction, construire en abscisse les quatre premiers termes de la suite (un ).

Devoir 1 – MA02-12

309

2

1 j 0 0 i

1

2

3

4

5

6

7

b) Que peut-on conjecturer quant au sens de variations et à l’éventuelle convergence de la suite (un ) ?
3 a) Démontrer que, pour tout n ≥ 0, on a 0 ≤ u n +1 ≤ un ≤ 6.

b) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (un ) ?

u −1 4 Soit (v ) la suite définie par v = n n n u + 2 pour n ≥ 0. n
a) Montrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Pour tout n ≥ 0,