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LIMITES DE FONCTIONS
1 ) LIMITE en + ∞ et en – ∞ A ) LIMITE INFINIE en + ∞ et en – ∞
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel . Si « f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en + ∞ . On note : lim f ( x ) = + ∞
 →

Cf
Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe Cf finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale .
 →

x → +∞

j

Rem : De manière plus mathématique ( moins intuitive … ) : Pour tout réel M > 0 , il existe un réel m tel que , si x > m , alors f ( x ) > M . On dit aussi que la fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞ . Exemples à connaître : lim x = + ∞ , lim x ² = + ∞ x → +∞ x → +∞

O

i

, lim x 3 = + ∞ , lim x → +∞

x → +∞

x=+∞

On définit de la même façon … x → +∞

lim f ( x ) = – ∞

x → –∞

lim f ( x ) = – ∞
 →

x → –∞

lim f ( x ) = + ∞

j

 →

j

O

 →

i

O Cf
Les nombres f ( x ) deviennent négatifs et de plus en plus grand en valeur absolue

 →

i

Cf
 →

j

Cf
Rem :

Dans ces deux cas, f est définie sur un intervalle de la forme ] -∞ ; b ]

O

 →

i

Dans la pratique, on peut utiliser la remarque suivante : Tout devient si simple quand f est paire ou impaire … Ex : x → –∞

x → –∞

lim f ( x ) = lim f ( - x ) x → +∞

lim x ² = + ∞

x → –∞

lim x = - ∞

x → –∞

lim x 3 = - ∞

B ) LIMITE FINIE en + ∞ et en – ∞ ET ASYMPTOTE HORIZONTALE Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel et L un réel donné . Intuitivement, dire que f a pour limite L en + ∞ , signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞ , les nombres f ( x ) correspondants viennent s’accumuler autour de L . C’est à dire que pour tout ε (ε > 0 ) , aussi petit qu’il soit, les nombres f ( x ) finissent par se situer dans l’intervalle ] L – ε ; L + ε [ . On note :