APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES EN GEOMETRIE
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O; u , v )
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1 ) UTILISATION DE L'AFFIXE D'UN VECTEUR : DISTANCES ET ANGLES
Rappel : La notion de distance correspond au module, la notion d'angle à l'argument. Propriétés → → Soit V et V ' deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z' . Si z et z' ont pour formes trigonométriques z = r (cos θ + i sin θ) et z' = r' (cos θ' + i sin θ') alors : → → → → ( u , V ) = θ = arg z [ 2π ] ( V , V ' ) = θ' – θ = arg z' – arg z [ 2π ] Preuve : → → → Si V a pour affixe z, on sait que V = OM avec M le point d'affixe z. → → D'autre part on a par définition arg z = θ = ( u , OM ) [ 2π ] → → Donc ( u , V ) = θ = arg z [ 2π ] → → → → → → → → → → Et ( V , V ' ) = ( V , u ) + ( u , V ' ) = ( u , V ' ) - ( u , V ) = θ' - θ = arg z' - arg z [ 2π ] Propriétés Soit A, B, C et D des points d'affixes respectives zA, zB, zC et zD tels que A ≠ B et C ≠ D. → → → • le vecteur AB a pour affixe zB - zA , et on a : AB = zB - zA et ( u , AB ) = arg (zB - zA) [ 2π ] • CD = zD - zC AB zB - zA et → → ( AB , CD ) = arg (zD - zC) - arg (zB - zA) = arg zD - zC [ 2π ] zB - zA → V (z) → V '(z)

→ → → On a vu précédemment que ( u , V ) = arg z [ 2π ] , z étant l'affixe de V . → → On en déduit donc : ( u , AB ) = arg (zB - zA) [ 2π ] • • • CD = | zD - zC | = zD - zC AB | zB - zA | zB - zA

Preuve :

→ → → → On a vu précédemment que ( V , V ' ) = arg z' - arg z [ 2π ], z étant l'affixe de V et z' l'affixe de V ' . → → On en déduit que ( AB , CD ) = arg (zD - zC) - arg (zB - zA) = arg zD - zC [ 2π ] . zB - zA Propriétés Soit A, B, C et D des points d'affixes respectives zA, zB, zC et zD tels que A ≠ B et C ≠ D. Les propriétés ci-dessous sont équivalentes : - arg zD - zC = π [ π ] → → zB - zA 2 - AB ⊥ CD zD - zC est imaginaire pur → → zB - zA - AB . CD = 0 → → - ( AB , CD ) = π [ π ] 2 Preuve : • L'équivalence des quatre