CONCOURS D’ADMISSION A L’ESM DE SAINT-CYR EN 1992 MATHÉMATIQUES I

Options M, P, T, TA
Durée : 3 heures

Calculatrice interdite

Dans l’appréciation des copies, il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements, de la précision de la rédaction, ainsi que de la présentation. Le candidat pourra, à condition de l’indiquer clairement, admettre un résultat afin de traiter les questions suivantes. Les copies mal rédigées ou mal présentées le sont au risques et périls du candidat. La formule de Stirling, hors-programme, ne devra pas être utiisée.

PROBLÈME
Dans le problème, n désigne un entier naturel non nul. Il est possible de traiter les deux parties du problème de façon indépendante. PREMIÈRE PARTIE cos(nx) . n2

1 - On considère la série de fonctions numériques de la variable réelle x, de terme général un (x) = a) Etudier la convergence de cette série. On définit la fonction f : R → R par :

+∞

pour tout réel x, f(x) = n=1 cos(nx) . n2

b) Montrer que f est continue sur R, paire et 2π-périodique. π c) Calculer l’intégrale : I =
0

f(x) dx. π d) Calculer, pour p ∈ N∗ , l’intégrale Ip :
0 +∞

f(x) cos(px) dx.

e) La série

cos(nx) est-elle le développement en série de Fourier de f ? n2 n=1 1

2 - Soit α ∈]0, π[ un réel fixé. Dans cette question et la suivante, on se limite aux valeurs de x du segment [α, π]. n a) On pose sn (x) = k=1 sin(kx). sin nx sin 2

(n + 1)x 2 est une constante que l’on précisera. Montrer que la différence : sn (x) − x sin 2 En déduire un majorant de |sn (x)| indépendant de n et de x ∈ [α, π]. n b) Montrer que, pour n ≥ 2, k=1 sin(kx) = k

n−1

k=1

sn (x) sk (x) + . k(k + 1) n sk (x) , k ≥ 1, sur le segment [α, π]. k(k + 1)

c) Justifier la convergence uniforme de la série de fonctions de terme général : d) Montrer la convergence uniforme de la série de fonctions de terme général :

sin(kx) , k ≥ 1, sur le segment [α, π]. k e) Montrer que f est dérivable sur ]0, π] et écrire