EXERCICE 2
1) Graphique
A

2

C

−3

1

−2

C

O

−1

J

1

2

E

B

−1

−2

−3

K

2)

b
−2 − i i(−1 + 2i)
=
=
= i. On en déduit que a −1 + 2i
−1 + 2i
OB
|b| b =
=
= |i| = 1 et donc OA = OB.
OA
|a| a − −
− →
→
π b = arg(i) = [2π].
• OA, OB = arg a 2
•

Par suite, le triangle OAB est rectangle isocèle direct en O.
3) a) c =

−3 + i + 1 − 2i
−2 − i
(−2 − i)(−1 − 2i)
2 + 4i + i − 2
= i.
=
=
=
−3 + i + 2 + i
−1 + 2i
(−1 + 2i)(−1 − 2i)
(−1)2 + 22

Le point C = f(C) a donc pour coordonnées (0, 1).
b) Soit M un point du plan distincts de B d’affixe z.
|z + 1 − 2i|
= 1 ⇔ |z − (−1 + 2i)| = |z − (−2 − i)| (et z = −2 − i)
|z + 2 + i|
⇔ AM = BM (et M = B) ⇔ AM = BM (car si M = B, alors AM = BM)
⇔ M ∈ med[AB].

|z | = 1 ⇔

L’ensemble E est la médiatrice du segment [AB]. On peut en déterminer une équation :

M ∈ med[AB] ⇔ AM2 = BM2 ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = (x + 2)2 + (y + 1)2

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⇔ x2 + 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = x2 + 4x + 4 + y2 + 2y + 1 ⇔ 2x + 6y = 0
⇔ x + 3y = 0.
3

c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.

L’ensemble E est la droite d’équation x + 3y = 0.
c) xO + 3yO = 0 = 0 = 0. Donc O ∈ E . xC + 3yC = −3 + 3 = 0. Donc C ∈ E .
4) • zJ = e−iπ/2 zA = −i(−1 + 2i) = 2 + i et zK = eiπ/2 zC = i(−3 + i) = −1 − 3i. zJ + zK
2 + i − 1 − 3i
1
=
= − i.
• Le milieu L du segment [JK] a pour affixe zL =
2
2
2

−
→
• La médiane issue de O du triangle OJK est la droite (OL). Les coordonnées du vecteur OL sont
−
→ du vecteur AC sont (−2, −1).

1
, −1 et les coordonnées
2

− −
→ → 1
OL.AC = × (−2) + (−1) × (−1) = 0.
2

−
→
−
→
Par suite, les vecteurs OL et AC sont orthogonaux ou encore la droite (OL) est perpendiculaire à la droite (AC). Ainsi, la droite (OL) est également la hauteur issue de O du triangle OAC.

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4

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