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THEORIE
DE L’INTEGRATION

Gijs M. Tuynman
20 septembre 2007

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THEORIE
DE L’INTEGRATION

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`res
Table des matie

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25.

Tribus
La droite achev´ee
Applications mesurables
Espaces produits
Subdivisions et fonctions ´etag´ees
Mesures
L’int´egrale de fonctions positives
Le th´eor`eme de convergence montone de Beppo-Levi
L’int´egrale de fonctions r´eelles ou complexes
Le th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue
Unicit´e de mesures
La mesure produit
Le th´eor`eme de Fubini
Int´egrales multiples
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Evaluation, mesures de comptage et s´eries
Existence de mesures
Mesures sur R et la mesure de Lebesgue sur Rd
L’int´egrale de Riemann versus celle de Lebesgue
Construction de mesures
Quelques applications
Le th´eor`eme de changement de variables
Une application du th´eor`eme de changement de variables
Les espaces Lp
Espaces mesur´es complets
Ensembles non-mesurables

R´ef´erences bibliographiques

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TRIBUS

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1. Tribus

1.1 D´ efinition. Soit Ω un ensemble et F ⊂ P(Ω) une collection de sous-ensembles de Ω. On dit que F est une tribu sur Ω si elle v´erifie les conditions suivantes :
(i) ∅ ∈ F ;
(ii) si, pour tout n ∈ N on a An ∈ F, alors ∪ An ∈ F ; n∈N (iii) si A ∈ F, alors Ω \ A ∈ F.
En toutes lettres : une tribu contient l’ensemble vide et l’espace total et est stable par r´eunion et intersection d´enombrables ainsi que par compl´ementaire dans Ω.
Un couple (Ω, F) o` u Ω est un ensemble et F une tribu sur Ω (on dit aussi que
Ω est muni de la tribu F) est appel´e un espace mesurable. Les ´el´ements de F sont appel´es ensembles (F-)mesurables.

1.2 Notation. Dans la suite on aura souvent l’occasion de parler du compl´ementaire d’un ensemble. Pour all´eger la notation on convient de noter le compl´ementaire
Ω \ A d’un ensemble A par Ac , a` condition que Ω soit l’espace total o` u se d´eroule la