Correction 1 1. On a les valeurs suivantes : a0 = 1 b0 = 7 1 1 9 a1 = 2·a0 + b0 = 2·1 + 7 = = 3 3 3 3 1 1 14 b1 = a0 + 2·b0 = 1 + 2·7 = 3 3 3 1 1 9 14 32 a2 = 2·a1 + b1 = 2· + = 3 3 3 3 9 1 1 9 14 37 b2 = a1 + 2·b1 = + 2· = 3 3 3 3 9 Voici la représentation de quelques points sur une droite graduée dont l’unité à pour mesure 2 cm : A1 A1 B2 A0

On en déduit que la suite (bn ) est décroissante. Graphiquement, les deux suites resterons chacune d’un côté de la droite graduée ( ? ?). 4. On a les propriétés suivantes : La suite (an ) est croissante ; La suite (bn ) est décroissante ; Pour tout entier naturel n, on a : an bn Pour que ces deux suites soient adjacentes, il suffit de montrer que : lim bn − vn = 0 n→+∞ 0

2

4

Or, d’après la question 2. , le terme de rang n de la suite (un ) admet l’écriture : 1 n un = 6· 3 BOn en déduit : B0 1 1 n lim an − bn = lim un = lim 6· =0 n→+∞ n→+∞ 3 6 n→+∞ 5. On a : vn+1 = an+1 + bn+1 1 1 2an + bn + an + 2bn 3 3 1 2an + bn + an + 2bn = 3 1 = 3an + 3bn 3 = an + bn = = vn La suite (vn ) est constante. Le milieu In du segment An Bn a pour abscisse : vn v0 an + bn = = In 2 2 2 Ainsi, tous les In ont mêmes abscisses ; ces points sont confondus ; plus précisemment : In 4 6. Les suites an et bn sont deux suites adjacentes d’après la question 4. ; d’après, le théorème des suites adjacentes, les deux suites an et bn sont convergentes et ont même limite ; notons cette limite. D’après la question 5. , on a pour tout entier naturel n l’encadrement suivant : an 4 bn Par passage à la limite dans cette inégalité, on a : n→+∞ 2. Pour tout entier naturel n, on a : un+1 = bn+1 − an+1 1 1 · an + 2·bn − · 2·an + bn 3 3 1 = · an + 2·bn − 2·an − bn 3 1 = · bn − an 3 1 = ·un 3 =

1 La suite un est une suite géométrique de raison ; son 3 premier terme a pour valeur : u0 = b0 − a0 = 7 − 1 = 6 Ainsi, le terme de rang n de la suite un admet pour expression : 1 n un = 6· 3 3. La suite un est une suite géométrique dont le premier terme et la