SESSION 2001
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

´ ´ ` EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

´ MATHEMATIQUES 2
´ Duree : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanum´riques sont autoris´es, sous r´serve des conditions e e e d´finies dans la circulaire n◦ 99-186 du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON

Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈ N, un+1 = un ◦ u. On note Kn [X] la K-alg`bre des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, Mn (K) la K-alg`bre e o e e e a e des matrices carr´es de taille n ` coefficients dans K de matrice unit´ In et GLn (K) le groupe des e a e matrices inversibles de Mn (K) ; les ´l´ments de Mn (K) sont not´s M = (mi j ). ee e Pour une matrice A de Mn (K), on note t A la transpos´e de la matrice A, rg(A) son rang, e χA = det(A − X In ) son polynˆme caract´ristique et Sp(A) l’ensemble de ses valeurs propres. o e Si P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 est un polynˆme unitaire de Kn [X] on lui associe o 0 1   0 la matrice compagnon CP =  .  0 0   0 . . 0 −a0 0 . . 0 −a1   1 0 . 0 −a2   ∈ Mn (K). . . . . .   . 0 1 0 −an−2 . . 0 1 −an−1

(c’est-`-dire la matrice CP = (ci j ) est d´finie par ci j = 1 pour i − j = 1, ci n = −ai−1 et ci j = 0 a e dans les autres cas). Les parties II. III. et IV. utilisent les r´sultats de la partie I. et sont ind´pendantes entre elles. e e

I. Propri´t´s g´n´rales e e e e
Dans cette partie on consid`re le polynˆme P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 de Kn [X] et e o CP sa matrice compagnon associ´e. e

1. 2.

Montrer que CP est inversible si et seulement si P (0) = 0. Calculer le polynˆme caract´ristique de la matrice CP et d´terminer une constante k telle o e e que χCP = k P . 1

3. 4.

Soit Q un polynˆme de Kn [X], d´terminer une condition n´cessaire et suffisante pour qu’il o e e existe une matrice A de Mn (K) telle que χA =