Limites : Résumé de cours et méthodes 1
DÉFINITION

Limite d’une fonction en +∞ et en −∞

1-1 Limite infinie en +∞ et en −∞
Soit f une fonction définie sur un intervalle admettant +∞ comme borne supérieure.On dit que f a pour limite +∞ en +∞ (ou que f (x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez grand pour que f (x) soit aussi grand que l’on veut. On écrit alors que lim f (x) = +∞. x→+∞ ¼

Remarque : on définit de la même façon,

¼

¼

¼

x→+∞

lim f (x) = −∞

x→−∞

lim f (x) = +∞

x→−∞

lim f (x) = −∞

PROPRIÉTÉ

x→+∞ x→−∞

lim x = +∞

x→+∞ x→−∞

lim x2 = +∞

x→+∞ x→−∞

lim x3 = +∞

x→+∞

lim

√ x = +∞

lim x = −∞

lim x2 = +∞

lim x3 = −∞

1-2 Limite finie en +∞ et en −∞
DÉFINITION

On dit qu’une fonction f a pour limite le réel l en +∞ (ou que f (x) tend vers l quand x tend vers +∞) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez grand pour que f (x) soit aussi proche de l que l’on veut. On écrit alors que lim f (x) = l. x→+∞ Ý Ð
¼

On dit alors que la droite D d’équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C f en +∞.
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1

Remarque : on définit de la même façon lim f (x) = l. x→−∞ Ý Ð
¼

La droite D d’équation y = l est dite asymptote horizontale à la courbe C f en −∞.
PROPRIÉTÉ

lim 1 x→+∞ x lim 1 x→−∞ x

=0 =0

lim 12 x→+∞ x lim 12 x→−∞ x

=0 =0

lim 13 x→+∞ x lim 13 x→−∞ x

=0 =0

x→+∞

lim

1 √ x

=0

2 Limite d’une fonction en a (a réel)
2-1 Limite infinie en a
DÉFINITION

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a , b[. On dit que f a pour limite +∞ en a (par valeurs supérieures) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez proche de a (x > a) pour que f (x) soit aussi grand que l’on veut. On écrit alors que lim f (x) = +∞. x→a x>a Ü
¼

Remarque : on définit de la même façon,

¼

Ü

¼

Ü

Ü
¼

lim f (x) = −∞ x→a x>a lim f (x) = +∞ x→a