Fiche « Equations » I. Définitions
Inconnue : grandeur (représentée par une lettre).dont on ne connaît pas la (ou les) valeur(s) Equation : égalité faisant intervenir une (ou plusieurs) inconnue. 1er membre = 2nd membre Degré d’une équation : la plus grande puissance de l’inconnue.
Exemples : 3 x + 4 = 7 est une équation du 1er degré et x2 – 3 x + 1 = 0 est une équation du 2nd degré.

Solution : valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie.
Exemples : 2 et 1 sont-ils solutions de l’équation 3 x + 4 = 7 ? Pour x = 2, 3 x + 4 = 10 or 10 ≠ 7 donc 2 n’est pas solution de l’équation 3 x + 4 = 7 Pour x = 1, 3 x + 4 = 7 donc 1 est une solution de l’équation 3 x + 4 = 7 (il en existe peut être d’autres)

Résoudre une équation : trouver toutes les solutions (ou prouver qu’il n’y en a aucune). Deux équations sont équivalentes si elles ont exactement les mêmes solutions.
Exemples : • Quelle relation existe–t–il entre les deux équations 2x = 6 et 3x = 9 ? On ne peut pas dire que 2x = 6 = 3x = 9 car 6 ≠ 9. Pourtant elles ont les mêmes solutions. On dit que 2x = 6 ⇔ 3x = 9. • x2 = 9 et 2x = 6 ne sont pas équivalentes. Pourquoi ? – 3 est solution de x2 = 9 mais pas de 2x = 6.

Notation : ⇔ ce symbole se lit « est équivalent(e) à » ou « équivaut à »

II. Méthode
Pour résoudre une équation, la meilleure méthode consiste à trouver une (ou plusieurs) équation(s) équivalente(s) dont les solutions sont évidentes, c’est à dire du type x = … On dit souvent qu’on isole l’inconnue.
Exemple : x – 1 = 0 ⇔ l’équation x – 1 = 0 x = 1 (or 1 est l’unique solution de l’équation x = 1) 1 donc 1 est l’unique solution de

III.Théorème
Les actions garantissant l’équivalence de deux équations sont :

A. Développer, factoriser, réduire, simplifier et réduire au même dénominateur. B. Ajouter ou soustraire la même quantité aux deux membres. a=b⇔ a+c=b+c et a=b⇔ a–c=b–c

C. Multiplier ou diviser les deux membres par la même quantité non nulle.
Pour k ≠ 0 a = b ⇔ k.a = k.b