DM 5: Vecteurs et expressions alg´briques e e
Exercice 1 : Droites parall`les

1.
−
−
→
−→
−
2. Il faut d´montrer qu’il existe un r´el k tel que : F C = k ∗ BE. e e
−
−
→ −
→ −
→
(a) CF = CA + AF
−→ −
−
−
→ −
→
BE = BA + AE.
(b) On a donc :
−
−
→
−
→ −
→
−
→
−
−
→
CF = −AC + AF = −AC + 3AB
→
−→
−
−
−
→ 1−
BE = −AB + 3 AC.
−→
−
−
−
→ −
→
3. −3BE = 3AB − AC
−
−
→
−
→
−
−
→
CF = −AC + 3AB
−→ −
−
−
→
Ainsi : −3BE = CF .
4. On a trouv´ k=-3 donc les droites (BE) et (FC) sont parall`les. e e
Exercice 2 :
1. A(x) = 1 − 4x2 − (1 − 2x)(2 + x)
= 1 − 4x2 − (2 + x − 4x − 2x2 )
= 1 − 4x2 − 2 − x + 4x + 2x2
= −2x2 + 3x − 1.
2. A(x) = 1 − 4x2 − (1 − 2x)(2 + x)
= (1 − 2x)(1 + 2x) − (1 − 2x)(2 + x)
= (1 − 2x)[(1 + 2x) − (2 + x)]
= (1 − 2x)(−1 + x).
3. (a) A(x) = 0 : on choisit la forme factoris´e : A(x) = (1 − 2x)(−1 + x) = 0. e On r´soud : 1 − 2x = 0 ou −1 + x = 0 e On a donc x = 1 ou x = 1 ;
2
(b) A(x) = −1 : on choisit la forme d´velopp´e : A(x) = −2x2 + 3x − 1 = −1. e e
Cela revient ` r´soudre : −2x2 + 3x = 0, c’est-`-dire : x(−2x + 3) = 0. a e a 3
On a donc : x = 0 ou −2x + 3 = 0, c’est-`-dire : x = 0 ou x = 2 ; a (c) A(x) = 3x − 1 : on choisit la forme d´velopp´e : A(x) = −2x2 + 3x − 1 = 3x − 1. e e
Ce qui revient ` r´soudre : −2x2 = 0, c’est-`-dire : x = 0. a e a 4. A(0) = (1 − 2 ∗ 0)(−1 √ 0) = 1 ∗ (−1) = −1
+
√
√
√
A( 3) = −2 ∗ 3 + 3 ∗ 3 − 1 = −6 + 3 3 − 1 = −7 + 3 3.
Exercice 3 :
On pose f (x) = (x + 1)2 − 4.

1

1. f (x) = x2 + 2x + 1 − 4 = x2 + 2x − 3.
2. f (x) = (x + 1)2 − 22 = (x + 1 + 2)(x + 1 − 2) = (x + 3)(x − 1).
3. Parmi les trois formes pr´c´dentes de f (x), choisissez la plus adapt´e pour calculer : e e e (a) Forme 2 ou 3 : f (0) = −3 ;
(b) Forme 3 : f (1) = 0 car (1+3)(1-1)=0 ;
(c) Forme 3 : f (−3) = 0 ;
(d) Forme 1 : f (−1) = −4 ;
√
√
√
(e) Forme 2 : f ( 3) = 3 + 2 3 − 3 = 2 3.

2