Relations d’´quivalence e

´ 1. Definitions D´finitions-Notation 1.1. Soit E un ensemble. e • Une relation sur E est la donn´e d’un sous-ensemble R de E × E. e • Une relation R sur E est dite (1) r´flexive si l’on a e (x, x) ∈ R (2) sym´trique si l’on a e (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R (3) transitive si l’on a [(x, y) ∈ R] ∧ [(y, z) ∈ R] ⇒ [(x, z) ∈ R] ∀x, y, z ∈ E . • Une relation d’´quivalence sur E est une relation r´flexive, sym´trique et transitive. e e e • En g´n´ral, si R est une relation sur E, on note xRy au lieu de (x, y) ∈ R. e e Exemple 1 Soit n un entier relatif non nul. Sur l’ensemble Z on d´finit une relation Rn en posant e xRn y ⇔ n divise y − x . ∀x, y ∈ E , ∀x ∈ E ,

(Lorsque la mention de n en indice sera rendue superflue par le contexte, on l’omettra.) C’est une relation d’´quivalence : e ◦ R´flexivit´ : le nombre 0 est bien divisible par n, on a donc xRx pour tout entier x. e e ◦ Sym´trie : si n divise y − x, il divise aussi x − y. e ◦ Transitivit´ : si n divise y − x, il existe un entier k tel que l’on ait l’´galit´ y − x = kn ; si n divise z − y, il existe un e e e entier l tel que l’on ait l’´galit´ z − y = ln ; l’entier n divise donc aussi z − x puisque l’on a les ´galit´s e e e e z − x = (z − y) + (y − x) = kn + ln = (k + l)n .

Exemple 2 Soit E un sous-ensemble de Rn . Notons C 0 (I, E) l’ensemble des applications continues de I := [0, 1] ⊂ R dans E. Alors la relation d´finie par e xRy ⇔ ∃f ∈ C 0 (I, E) f (0) = x, f (1) = y est une relation d’´quivalence. V´rifions-le : e e ◦ R´flexivit´ : Soit x un ´l´ment de E. Alors l’application constante f : I → E d´finie par f (t) = x montre que l’on a e e ee e xRx pour tout x de E. ◦ Sym´trie : Soient x et y deux ´l´ments de E tels que l’on ait xRy, c’est-` dire tels qu’il existe une fonction continue e ee a f : I → E v´rifiant f (0) = x et f (1) = y. Posons g(t) = f (1 − t). Alors g est continue et l’on a g(0) = y et g(1) = x et e donc yRx. ◦ Transitivit´ : Soient x, y et z trois ´l´ments de E tels que l’on