NOMBRES COMPLEXES

I Définition - Représentation géométrique
Rappel
Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k.
Ce nombre est appelé racine cubique de k . Il est noté

3

1
3

k ou aussi k .

3

On a par exemple 8 = 2 parce que 23 = 8.
La touche "puissance" des calculatrices permet de donner des valeurs approchées des racines cubiques : avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71 . On a donc

Exercice 01

3

5 ≈ 1,71

(voir réponses et correction)

Au XVIème siècle, Jérôme Cardan, confronté à la résolution des équations du troisième degré, de la forme x3 = px + q donne la formule suivante appelée formule de CARDAN :
2
3 lorsque q - p ³ 0,
4 27

3

l'équation a pour solution x =

q+
2

q2 - p 3 +
4 27

3

q2

q2 - p 3
4 27

1° On considère l'équation x3 = 1. Quelles sont les valeurs de p et q ?
)
Vérifier que l'on peut utiliser la formule de Cardan.
Quelle solution obtient-on ?
2° On considère l'équation x3 = 3x + 2
)
Vérifier que l'on peut utiliser la formule de Cardan.
Quelle solution obtient-on ? Vérifier. (Facultatif : Trouver toutes les solutions de l'équation x3 = 3x + 2)
3° On considère l'équation x3 = 2x + 4
)
Vérifier que l'on peut utiliser la formule de Cardan.
Donner en utilisant une calculatrice une valeur approchée de la solution obtenue.
Vérifier. (Facultatif : Trouver toutes les solutions de l'équation x3 = 2x + 4)
4° On considère l'équation x3 = 15x + 4
)
Justifier que la formule de Cardan ne peut pas s'appliquer.
Pris dans un engrenage infernal, on décide cependant d'appliquer la formule.
Comment peut s'écrire la "solution" ?
5° Imaginons un nombre dont le carré est -1, et qui sera très temporairement noté -1 .
)
En utilisant ce nombre "imaginaire" et en effectuant des calculs "habituels", montrer que
(2 + -1 )3 = 2 + 11 -1 . En déduire que 2 + -1 est une racine cubique de 2 + -121.
"Démontrer" de même que 2 - -1