Chapitre: Réduction des endomorphismes

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Réduction des endomorphismes

Proposition 4 :
Kerϕ : ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de K[X]. Imϕ = K[u] est une sous algèbre de (E). Si dim E est fini alors u admet un polynôme minimal.

Table des matières
1 2 Sous espaces stables par un endomorphisme Polynôme d'endomorphisme ou de matrice 1 1

2.1 Polynôme d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Valeurs propres, vecteurs propres

1 1
1

Proposition 5 :
E un K-ev, u ∈ (E) admettant un pomi πu , si F est un sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu .

3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 5 Diagonalisation Trigonalisation

2 2 2
2 3

K désigne R ou C, E un K-espace vectoriel .

2.2

Polynôme de matrice

1

Sous espaces stables par un endomorphisme
Définition 1 :
Soit u ∈ stable) si (E), un sous espace vectoriel F de E est dit stable par u (ou uu(F) ⊂ F

De même, on définit polynôme de matrice comme suit

n

n

P= k=0 ak Xk ,

P(M) = k=0 ak Mk

Proposition 1 :
Si f ◦ g = g ◦ f alors Kerg et Img sont stables par f .

Propriété 1 : Proposition 2 :
On suppose que E est de dimension finie et que E = F ⊕ G, dim F = p, dim G = q soit β une base de E adaptée à cette décomposition. Si M la matrice de u dans cette base alors : A B F est stable par u si, et seulement si M s’écrit de la forme : , où 0 C A ∈ p (K), C ∈ q (K). Dans ce cas : det M = (det A) (det C). Généralisation : On suppose que E = ⊕ Ek , alors chaque Ek est stable par u k=1 n

πM = π t M et si A et B sont semblables alors πA = πB .

Proposition 6 :
A C est une matrice triangulaire par blocs, alors πA , πB divisent 0 B πM et πM divise πA πB . C’est à dire : ppcm(πA , πB )/πM /πA πB Si M =

si, et