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Correction DS no 14 (sur 10 points) dur´e 20mn e ( 3 points )

Exercice 1 On consid`re la suite (un ) d´finie pour tout entier naturel n par : un = e e 1. n−1 n+2 Quelle est la fonction f associ´e ` la suite (un ) d´finie sur [0; +∞[ ? e a e  Solution: La fonction f d´finie par f (x) = e et on alors un = f (n) = 2. Calculer f (x).  Solution: On pose u(x) = x − 1 et v(x) = x + 2 on a donc u (x) = 1 et v (x) = 1 u (x)v(x) − u(x)v (x) (x + 2) − (x − 1) 3 f (x) = = = 2 2 (v(x)) (x + 2) (x + 2)2 3. En d´duire les variations de la suite (un ). e  Solution: n−1 n+2 x−1 sur [0; +∞[ est associ´e ` la suite (un ) e a x+2

(x + 2)2 > 0 sur [0; +∞[ donc f (x) > 0 ey la fonction f est donc strictement croissante donc la suite (un ) est strictement croissante. Remarque : On peut aussi ´tudier le signe de un+1 − un avec un+1 = e (n + 1) − 1 n = (n + 1) + 2 n+3

Exercice 2

( 4 points )

On consid`re la suite arithm´tique (un ) d´finie pour tout entier naturel n de raison r et premier terme u0 telle e e e que u3 = 5 et u8 = −5. 1. Calculer r puis u0  Solution: u8 = u3 + (8 − 3)r ⇐⇒ −5 = 5 + 5r ⇐⇒ −10 = 5r ⇐⇒ r = −2 et u3 = u0 + 3r ⇐⇒ 5 = u0 + 3 × (−2) ⇐⇒ 5 = u0 − 6 ⇐⇒ u0 = 11 2. Exprimer ensuite un en fonction de n  Solution: (un ) est donc une suite arithm´tique de raison r = −2 et premier terme u0 = 11 e donc un = 11 − 2n 3. Cette suite est-elle croissante ou d´croissante ? e  Solution: La raison est n´gative donc la suite (un ) est d´croissante. e e

4.

Calculer u0 + u1 + . . . . . . u9 + u10  Solution: u0 + u1 + . . . . . . u9 + u10 = 11( u0 + u10 11 + 11 + 10 × (−2) ) = 11 × = 11 2 2

Exercice 3

( 3 points )

Un club de sport compte 120 licenci´s en 2009 et chaque ann´e, il y a 15 licenci´s de plus. e e e La cotisation est de 30 euros par licenci´ chaque ann´e( on suppose que le prix de la licence reste constant). e e On note un le nombre de licenci´s de l’ann´e 2009 + n (n ∈ N) e e 1. Quelle est la valeur de u0 ?  Solution: u0 est le nombre