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Lycée Charlemagne

 
Lundi 24 janvier

¨ ©Année ¡
0 0 a2 1 0 0 0 0 a3 1

2010/11

I.S.14
I.S.14

MPSI2

£ ¢
1 1 1 0 a1 1 1 0 a2

ALGÈBRE

2010/11
1 0 0 0 a4

1 0 0 1 1 0 1 a1 1 a1 0 0 1 1 et 1 1 a2 0 1 0 1 0 1 0 1 a3 formule pour le terme général de la matrice de taille

Calculez les déterminants des matrices suivantes :

1 1 1 a1

,

,

.

mule que vous conjecturez pour le déterminant de la

demande juste la formule, pas une démonstration (bon sang, je vire physicien, trois expériences font une preuve !), mais je veux une formule propre, avec des sigma et des pi, sans le moindre point de suspension (bon sang, je devient prof de Spé !).

£ n.¢ 1 pt. ¡ Donnez ensuite la for£ matrice de taille n. 2 pt. ¢ ¡Je vous

£ ¢ 4 pt. ¡Donnez une

[♦(1)]

Donnez la dimension de l'espace vectoriel des matrices carrées

M

de taille

2

de

trace nulle et vériant

T r(A.M ) = 0

avec

A=

1 −1

3 1

£ . 3 pt. ¢ ¡

→ → → − − − → → − − 3 Soit f linéaire de R dans lui même. On suppose : f ( i + j + k ) = 2. i − j , → − → − → → − − → − f ( i + j − 3. k ) = 3. j − 2. k . J'ai une autre information : l'ensemble image (c'est à dire 3 3 − − l'ensemble de tous les f (→) quand → parcourt R ) est un plan inclus dans R . Donnez u u £ moi une base de ce plan, et donnez m'en l'équation cartésienne. ¢ 2 pt. ¡ →£ − → − → − Calculer l'image de 2. i + 2. j − 5. k . 1 pt. ¢ ¡ → − → → − − Si maintenant j'ajoute que i − 2. j + k a pour image son double, calculez moi l'image £ de chacun des trois vecteurs de base. 4 pt. ¢ ¡ £ 17 points ¡ ¢ £ MPSI2 ANALYSE I.S.14 ¢ ¡ 2010/11
[♦(2)] [♠(1)] tiale et Résolvez l'équation diérentielle (1 − t).yt + 4.Arctan(t).yt = 0 avec condition iniy0 = 1 (vous intégrerez par parties et décomposerez en termes en a/(t − 1), b/(t − 1)2 £ £ (c.t + d)/(1 + t2 )).¢ 4 pt. ¡La solution trouvée admet elle une limite nie en 1 ? ¢ 2 pt. ¡ Soit

[♠(2)]

u

une suite