Maths
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622 CHAPITRE 22. CALCUL MATRICIELOBJECTIFS
⊲ r`egles de calcul avec les matrices
⊲ calcul des puissances d’une matrice
⊲ calcul de l’inverse d’une matrice
⊲ formulation matricielle des SEL
Introduction
Dans le Chapitre 21 , nous avons vu qu’un syst`eme d’´equations lin´eaires est repr´esent´e par une famille
(ai,j)1in
1jp de coefficients ainsi que par un second membre b = (bi)1in. Lors de la r´esolution d’un tel syst`eme, seuls les coefficients du syst`eme et son second membre sont modifi´es par op´erations ´el´ementaires. Dans cette optique, on ne s’int´eresse plus qu’au tableau des coefficients, appel´e matrice de n lignes et p colonnes.
L’objectif de ce chapitre est de d´evelopper des op´erations sur les matrices particuli`erement bien adapt´ees `a la r´esolution des syst`emes.
1 D´efinition et op´erations dans Mn,p(K)
1.1 D´efinition de Mn,p(K)
Matrice `a n lignes et p colonnes
D´efinition : Soit (n, p) ∈ N⋆ × N⋆ deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice de n lignes et p colonnes toute famille (ai,j )1in
1jp
d’´el´ements de K. On la repr´esente sous la forme d’un tableau rectangulaire d’´el´ements de K.
• L’ensemble des matrices de taille (n, p) `a coefficients dans K est not´e Mn,p(K).
• A ∈Mn,p(K) s’´ecrit donc sous la forme :
A =
a1,1 a1,2 . . . a1,j . . . a1,p a2,1 a2,2 . . . a2,j . . . a2,p
· · · · · · · · · · · · ai,1 ai,2 . . . ai,j . . . ai,p
· · · · · · · · · · · · an,1 an,2 . . . an,j . . . an,p
,
Les ´el´ements ai,j s’appellent les coefficients de A.
Plus pr´ecis´ement, pour (i, j) ∈ [1, n]] × [1, p]], le nombre ai,j ∈ K est le coefficient de la matrice A
`a la ii`eme ligne et j i`eme colonne. ou A = (ai,j)1in
1jp
voire A = (ai,j ) lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e sur les «dimensions»de A.
Vocabulaire :
Lorsque n = p, on note simplement Mn(K) l’ensemble des matrices carr´ees, `a n lignes et n colonnes.
Lorsque p = 1, les ´el´ements de Mn,1(K) s’appellent