Lycée N.D. de Bon Secours 1ère ES 1

Lundi 1er mars 2010

durée : 1 heure

Devoir surveillé de mathématiques n°5 Spécialité
A traiter sur une autre copie que celle du devoir commun.

Liban – juin 2009 Une entreprise de services à la personne propose dans ses services l'entretien de jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours à des employés à temps partiel pour une durée globale de heures, et elle loue le matériel nécessaire pour une durée globale de heures. La surface de jardin, exprimée en centaines de m 2, est donnée par la fonction où et sont exprimées en heures. Une heure de travail coûte 15 euros et une heure de location du matériel coûte 30 euros. Les contraintes matérielles imposent que et . La figure 1 donnée au verso représente la surface d'équation . La figure 2 représente la projection orthogonale de la surface sur le plan , les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour variant de 10 en 10. 1. a. Les points et sont des points de la surface . Déterminer pour chacun la coordonnée manquante. b. Lire sur la figure 1 les coordonnées du point et en donner une interprétation concrète. c. Placer sur la figure 1 le point de coordonnées . d. Donner la nature de la courbe de niveau . 2. Les contraintes financières imposent de fixer le coût hebdomadaire correspondant à 2 400 euros. a. Démontrer que et ? c. Représenter l'ensemble sur la figure 2. d. En déduire graphiquement la surface de jardin maximum qu'on peut traiter avec un coût hebdomadaire de 2 400 euros. 3. a. Vérifier que, sous la contrainte fonction définie sur b. Démontrer que sur par , , , peut s'écrire sous la forme . désignant la fonction dérivée de , puis démontrer , , étant la sont liés par la relation des points . de l'espace dont les coordonnées vérifient b. Quelle est la nature de l'ensemble

que la fonction admet un maximum sur l'intervalle . c. En déduire le temps de travail et la durée de location hebdomadaire qui permettent de traiter une surface maximum.