1ère S1 / S2 DEVOIR MAISON n°6 pour le 30/04 /10

Exercice 1 :
On veut réaliser un toboggan pour les enfants, qui se termine en pente douce.
Ce toboggan doit donc vérifier les conditions suivantes : 1) il doit avoir une tangente en A parallèle au sol, 2) le sol doit lui être tangent au point B, 3) au point C, la pente doit être la plus grande possible.
Dans tout le problème, on considère le plan rapporté au repère [pic]
(unité graphique : 2,5 cm).
Le croquis ci-contre ne respecte pas l’échelle choisie.
Les coordonnées du point A sont (0 ; 2), celles du point B (4 ; 0) et celles du point C (2 ; 1).
Le but du problème est de trouver des fonctions dont les courbes représentatives ont l’allure du toboggan et vérifient les conditions de l’énoncé.
Expliquer pourquoi une fonction affine ne peut pas convenir.
1er cas envisagé : f est la fonction définie sue [0 ; 4] par : [pic] et Cf est sa courbe représentative dans[pic]. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. g est la fonction définie sue [0 ; 4] par : [pic] et Cg est sa courbe représentative dans[pic]. Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.
Démontrer que Cf et Cg ont en commun le point C et que, en ce point, elles ont la même tangente T.
Tracer Cf et Cg sur un même graphique. Ensuite, tracer d’une couleur différente, les deux portions de Cf et Cg représentant le toboggan.
Vérifier que la courbe obtenue satisfait aux conditions (1) et (2).
2ème cas envisagé : On décide de donner au toboggan, un profil correspondant à la courbe représentative dans [pic] d’une fonction polynôme P de degré 3 : P(x) = ax3+ bx2 + cx + d.
Trouver la valeur de d sachant que la courbe passe par A.
Sachant que la courbe passe par B et qu’elle doit vérifier les conditions (1) et (2), trouver les valeurs de a, b et c. h est la fonction