DENOMBREMENT I) Permutations et factorielle.
1) Exemple : une anagramme d’un mot est un nouveau mot constitué des mêmes lettres que celles du mot initial mais dans un ordre différent. Déterminer le nombre d’anagrammes du mot « Marie » qui contient 5 lettres distinctes. 1ère lettre 5 choix 2ème lettre 4 choix 3ème lettre 3 choix 4ème lettre 2 choix 5ème lettre 1 choix

Chacune des ces anagrammes est appelée une permutation des cinq lettres m, a, r, i, e. Il y a donc 5 × 4 × 3 × 2 × 1 anagrammes possibles, soit 120. 2) Définition : Pour tout entier n naturel non nul, le nombre n! , lu « factorielle n », est le produit des n entiers non nuls inférieurs ou égaux à n : n! = n × ( n − 1) × (n − 2 ) × L × 2 × 1 . On pose 1! = 1 et 0! = 1 . Le nombre de permutations de n objets est égal à n !. Remarque : Dans l’exemple précédent, le nombre d’anagrammes est donc égal à 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

II) Combinaisons
1) Définition : Soit E un ensemble contenant n éléments et p un entier inférieur ou égal à n. On appelle combinaison de p éléments pris parmi les n éléments de E, un sous-ensemble de E à p éléments. Remarque : une combinaison de p éléments de E étant un sous-ensemble de E, ses éléments s’écrivent entre accolades et l’ordre dans lequel ils sont notés n’a pas d’importance. 2) Propriété : Soit p un entier inférieur ou égal à n. Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n est égal au p 0 1 n p n! nombre Cn défini par : C n = et on a les résultats suivants : Cn = 1 ; Cn = n ; C n = 1 . p! (n − p )! p p −1 n Propriété : Soit p un entier inférieur ou égal à n. On a : Cnp = C n − p (symétrie) ; Cnp = C n−1 + Cn −1 . p 3) Triangle de Pascal : Les Cn se calculent aussi de proche en proche grâce au triangle de Pascal (ci-dessous).

p> n∨ 0 1 2 3 4 5 6

0 1 1 1 1 1 1 1

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15

1 4 10 20

1 5 15

3 3 2 C4 = C3 + C3

1 6

1

III) Formule du binôme
Définition : Pour tous réels a et b, et