Lycée Maurice Delafosse 23 Octobre 2012

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DEVOIR PRÉPARÉ N
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EXERCICE PARTIE A

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Soit (un ) la suite définie par : u0 = 5500 et pour tout entier naturel n, un+1 = 0,68 × un + 3560 . 1. a) Utiliser les droites d’équations y = x et y = 0,68x + 3560 pour construire les quatre premiers termes de la suite (un ). y
11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000 10000 11000 12000 13000

x

Conjecturer le sens de variation de la suite (un ) ainsi que la limite de la suite (un ). b) Quel est le rôle de l’algorithme suivant ? A = 5500 ; k = 0;
TANT _ QUE

A < 11000 FAIRE k prend la valeur k + 1 ; A prend la valeur 0,68 × A + 3560 ;

FIN TANT _ QUE

S ORTIE : Afficher k;

2. Soit (vn ) la suite définie pour tout entier naturel n, par vn = un − 11125. a) Démontrer que (vn ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 11125 − 5625 × 0,68n . c) La suite (un ) est-elle convergente ?
A. YALLOUZ -1MATH@ES

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PARTIE B

Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. Une étude statistique a permis de constater que d’une année sur l’autre, 32% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement. En 2010, il y avait 5 500 abonnés à cette revue. 1. Donner une estimation du nombre d’abonnés à cette revue en 2012. 2. Pour tout nombre entier naturel n, on note un le nombre d’abonnés à la revue l’année 2010 + n. a) Justifier que pour tout entier n, un+1 = 0,68 × un + 3560 . b) Est-il possible d’envisager au bout d’un nombre d’années suffisamment grand, une diffusion supérieure à 12 000 abonnés ? c) À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’abonnés à la