THEME :
DISTANCE DE DEUX POINTS dans un repEre orthonormaL
Dans tout ce chapitre, nous travaillerons dans un repère orthonormal ( O , I , J ) Un repère ( O , I , J ) est dit orthonormal ( ou orthonormé ) lorsque les axes sont perpendiculaires et lorsque OI = OJ ( = 1 ).

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Considérons deux points A et B de coordonnées respectives (xA ; yA ) et (xB ; yB ). Nous supposerons de plus que xA ≠ xB et yA ≠ yB . Soit C le point d’intersection de la parallèle à l’axe des abscisses passant par A et de la parallèle à l’axe des ordonnées passant par B. Comme les axes sont perpendiculaires ( repère orthonormal ) , le triangle ABC est rectangle en C. Nous pouvons donc, dans ce triangle, appliquer le théorème de Pythagore.

Nous avons : AB² = AC² + CB² Donc ( voir ci-contre ) AB² = (xB – xA)² + (yB – yA)²
Et par suite

AB =

(xB - xA)² + (yB - yA)²

Nous savons que ( -3)² = 3² ( un carré est toujours positif ) Lien entre xB – xA et xA – xB : Ces deux valeurs ont la même partie numérique, mais différent par leurs signes. Si l’une des valeurs est positive, l’autre est négative. Elles ne sont pas égales, mais vérifient l’égalité suivante : x B – x A = - ( xA – x B ) Mais, si maintenant, nous élevons au carré ces deux valeurs, nous obtenons (xB – xA)² = [ - ( xA – xB ) ]² = ( xA – xB )² Il y a donc égalité (xB – xA)² = ( xA – xB )²

Remarque :
Il est vrai que nous pouvions également écrire AB = ou encore (xA - xB)² + (yA - yB)² AB = (xA - xB)² + (yB - yA)² ou encore ...

Il n’y a pas d’ordre dans les différences , mais il est préférable ( non obligatoire ) de commencer par le dernier point de l’écriture AB , c’est à dire par le point B.

Propriété :
Dans le plan muni d’un repère, soient A et B deux points de coordonnées respectives ( xA ; yA ) et ( xB ; yB ). Nous avons : AB² = (xB – xA)² + (yB – yA)² ou AB = (xB - xA)² + (yB - yA)²

Remarque :
Cette propriété donne en plus de la distance AB des deux points, le carré de cette distance. Il est