CONDITIONNEMENT

Dans tout le chapitre, E désigne l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire et P désigne une loi de probabilité sur E.

I. Probabilité conditionnelle

Définition : Soit A et B deux événements avec [pic].
On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. Elle est notée [pic] et est définie par : [pic]

Exemples :
1) On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Soit A l'événement "Le résultat est un pique".
Soit B l'événement "Le résultat est un roi".
Donc [pic] est l'événement "Le résultat est le roi de pique".

Alors : [pic] et [pic].
Donc la probabilité que le résultat soit un roi sachant qu'on a tiré un pique est :
[pic].

On peut retrouver intuitivement ce résultat. En effet, sachant que le résultat est un pique, on a une chance sur 8 d'obtenir le roi.

2) Un sac contient 50 boules, dont 20 boules rouges et 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu"
Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné.
Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné.
On tire au hasard une boule dans le sac.
Soit R l'événement "On tire une boule rouge".
Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné"
Donc [pic] est l'événement "On tire une boule rouge marquée Gagné".

Alors : [pic] et [pic].
Donc la probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est rouge est : [pic].

On peut retrouver intuitivement ce résultat. En effet, sachant que le résultat est une boule rouge, on a 15 chances sur 20 qu'il soit marqué Gagné.

Remarque :
La probabilité conditionnelle suit les règles et lois de probabilités vues dans les classes antérieures. On a en particulier :

Propriétés : Soit A et B deux événements avec [pic].
- [pic]
- [pic]
- [pic]

II. Arbre pondéré

1) Exemple

On reprend le 2e exemple étudié au paragraphe I.
L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré (ou arbre