EXERCICE 2 (5 points )
(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

On considère plusieurs sacs de billes S1 , S2 , . . . , Sn , . . . tels que :
• le premier, S1 , contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;
• chacun de suivants, S2 , S3 , . . . , Sn , . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.
Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :
• on tire au hasard une bille dans S1 ;
• on place la bille tirée de S1 dans S2 , puis on tire au hasard une bille dans S2 ;
• on place la bille tirée de S2 dans S3 , puis on tire au hasard une bille dans S3 ;
• etc . . .
Pour tout entier n probabilité. 1)

1, on note En l’événement « la bille tirée dans Sn est verte » et on note p(En ) sa

Mise en évidence d’une relation de récurrence
a) D’après l’énoncé, donner les valeurs de p(E1 ), pE1 (E2 ) et pE1 (E2 ). En déduire la valeur de p(E2 ).
b) A l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p(En+1 ) en fonction de p(En ).

2)

Etude d’une suite

On considère la suite (un ) définie par :

 u =2
 1
5

 un+1 = 1 un + 2 pour tout n
5
5

.
1

1
a) Démontrer que la suite (un ) est majorée par .
2
b) Démontrer que la suite (un ) est croissante.

c) Justifier que la suite (un ) est convergente et préciser sa limite.
3)

Evolution des probabilités p(En )
a) A l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités p(En ).
b) Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on 0,499 99

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p(En )

0, 5 ?

EXERCICE 2
1) Mise en évidence d’une relation de récurrence
3
2
2
et donc p(E1 ) = 1 − = . Ensuite
5
5
5
3
• si l’événement E1 est réalisé, le sac S2 contient 2 billes jaunes et 3 billes vertes. On a donc pE1 (E2 ) = ;
5
2
• si l’événement E1 est réalisé, le sac S2 contient 3 billes jaunes et 2 biles vertes. On a donc pE1 (E2 ) = .
5
La formule des probabilités totales permet alors d’écrire
a) L’énoncé fournit