Fonctions exponentielles et logarithmes
On voit ici les propriétés de deux fonctions fondamentales : l’exponentielle et le logarithme. Il faut bien comprendre qu’il y a différentes manières de définir l’exponentielle mais que ces définitions sont équivalentes entre elles. Le logarithme étant la réciproque de l’exponentielle, ses propriétés découlent de celles de l’exponentielle.
1. La fonction exponentielle Définition
Il existe une nique fonction f dérivable et strictement positive sur R telle que f  f et f (0)  1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note exp .
Pour plus de lisibilité on note pour tout x, exp(x)ex.
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ex 0 exy 
Propriétés
Par construction, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Pour tout réels x, y et tout entier relatif n ,
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e0 1 exy ex.ey
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Limites
ex 
1
ex
 exp(x)ex
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ex ey ex exn  n eh 1 h
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
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 1
xx  lime  lime 0 lim x x h0
Dérivée de la fonction eu u est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction f définie par: f (x)  eu(x) est dérivable sur I et pour tout
   réel x de I, f (x)  u(x)eu(x) .
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ln(x) dont l’exponentielle est x. Pour tout réel x  0 eln(x)  x. Pour tout réel x ln(ex )  x.
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2. La fonction logarithme népérien Définition
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La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur 0; qui à tout réel x  0, associe le réel notée
Propriétés
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;. Elle aussi continue et dérivable sur ce même
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   intervalle. Pour tout réel x  0, ln( x)  1x .
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Pour tout réels a,b strictement positifs et tout entier relatif n, ln(1)0   a  
 ln(ab)ln(a)ln(b)
1
ln ln(a)
 a  
 n  1
  ln  ln(a)  ln(b) ln(a )  n ln(a) ln a  ln(a)  b   Limites
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2
lim ln(x) x ln(1h) lim h
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