■ Exercice 3 (7 points)
Commun à tous les candidats
PA RT I E A

La température de refroidissement d’un objet fabriqué industriellement est une fonction f du temps t. f est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs et vérifie l’équation différentielle : 1 f ′ ( t ) + -- f ( t ) = 10 . 2 www.annabac.com © H A T I E R 2009

La température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps t en heures. m 1. Déterminer f ( t ) pour t 0 , sachant que pour t = 0 , la température de l’objet est 220 °C. m 2. On pourra admettre désormais que la fonction t – -200e 2

f est définie sur

+ 20 . par f ( t ) = On note sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthogonal ; les unités graphiques sont 2 cm pour une heure en abscisse et 1 cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée. . a) Étudier les variations de la fonction f sur b) Étudier la limite de la fonction f en + ∞ . En déduire l’existence d’une asymptote à la courbe en + ∞ . c) Construire et sur l’intervalle [ 0 ; 7 ] . m 3. a) Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l’objet est 50 °C. On laissera apparents les traits de construction. b) Retrouver ce résultat par le calcul.

PA RT I E B

On considère la suite de terme général d n = f ( n ) – f ( n + 1 ) où n ∈ . dn représente l’abaissement de température de l’objet entre l’heure n et l’heure n + 1. m 1. a) Calculer des valeurs approchées au dixième de d0, d1 et d2. b) Quelle est la limite de dn quand n tend vers + ∞ ? m 2. Déterminer la plus petite valeur de l’entier n à partir de laquelle l’abaissement de température est inférieur à 5 °C.

■ Exercice 3. Durée conseillée : 55 min.
Les thèmes en jeu
– Équations différentielles. – Généralités sur les fonctions. – Fonction exponentielle. – Suites numériques.

Les conseils du correcteur
Partie A m 1. Les solutions des équations différentielles du premier degré à coeffib cients constants du type y ′ = ay + b sont de