Mathématique antique
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CORRECTION DU DEVOIR MAISON1) Le dessin correspondant au problème est le suivant : il s’agit d’inscrire un carré dans un triangle.
Énoncé moderne du problème
On considère un triangle isocèle tel que AB = AC = 10 et BC = 12 (unité la coudée).
Construire un carré MNPQ tel que M et N appartiennent à [BC], Q Î [AB] et P Î [AC].
2) Solution d’Al-Khwarizmi, en utilisant les notations modernes :
On appelle H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
On se propose de déterminer la hauteur AH.
Comme le triangle est isocèle, [AH] est aussi la médiane issue de A : donc H est le milieu de [BC].
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on peut écrire :
AB2 = AH2 + BH2
AH2 = AB2 – BH2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64
AH = 8.
Quelle est l’aire du triangle ABC ? = 48.
On appelle x le côté du carré. L’aire du carré est x2.
Aire de chacun des triangles (égaux) BQN et CPN situés sur le côté : x×(6 – ).
Aire du triangle AQP situé au dessus : × (8 – x).
On peut en déduire l’équation : x2 + x(6 – ) + (8 – x) = 48 équivalente à : x2 + 6x – + 4x – =48
10x = 48 soit x = 4,8.
CORRECTION DU DEVOIR MAISON
1) Le dessin correspondant au problème est le suivant : il s’agit d’inscrire un carré dans un triangle.
Énoncé moderne du problème
On considère un triangle isocèle tel que AB = AC = 10 et BC = 12 (unité la coudée).
Construire un carré MNPQ tel que M et N appartiennent à [BC], Q Î [AB] et P Î [AC].
2) Solution d’Al-Khwarizmi, en utilisant les notations modernes :
On appelle H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
On se propose de déterminer la hauteur AH.
Comme le triangle est isocèle, [AH] est aussi la médiane issue de A : donc H est le milieu de [BC].
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on peut écrire :
AB2 = AH2 + BH2
AH2 = AB2 – BH2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64
AH = 8.
Quelle est l’aire du triangle ABC ? = 48.