Exo7

Polynômes
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Motivation
Les polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Vous savez déjà résoudre les équations de degré 2 : aX 2 + bX + c = 0. Savez-vous que la résolution des équations de degré 3, aX 3 + bX 2 + cX + d = 0, a fait l’objet de luttes acharnées dans l’Italie du X V I e siècle ? Un concours était organisé avec un prix pour chacune de trente équations de degré 3 à résoudre. Un jeune italien, Tartaglia, trouve la formule générale des solutions et résout les trente équations en une seule nuit ! Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée quelques années plus tard comme la « méthode de Cardan ».
Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l’arithmétique des polynômes. Il y a une grande analogie entre l’arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec un théorème fondamental de l’algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes.
Dans ce chapitre K désignera l’un des corps Q, R ou C.

1. Définitions
1.1. Définitions
Définition 1
Un polynôme à coefficients dans K est une expression de la forme
P(X ) = a n X n + a n−1 X n−1 + · · · + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 , avec n ∈ N et a 0 , a 1 , . . . , a n ∈ K.
L’ensemble des polynômes est noté K[X ].
– Les a i sont appelés les coefficients du polynôme.
– Si tous les coefficients a i sont nuls, P est appelé le polynôme nul, il est noté 0.
– On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que a i = 0 ; on le note deg P. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞.
– Un polynôme de la forme P = a 0 avec a 0 ∈ K est appelé un