Mathématiques financières
2231 mots
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ATELIER 3Éléments de mathématiques financières
I)
Les intérêts simples
Les intérêts sont dits intérêts simples lorsqu’ils ne deviennent pas eux même productifs d’intérêts. Formules : in = C × t × n Can = C + in ou bien Can = C (1 + t × n) i Ca - C n= n ou bien n= n C×t C×t Can in ou bien C= C= t×n 1+t×n in Can - C t= ou bien t= C×n C×n
in : montant des intérêts au bout de n périodes. Can = capital acquis au bout de n périodes. n : nombre de périodes. C : capital placé. t : taux d’intérêt par période.
Exemple : 50 000 € placés pendant 5 ans à un taux de 6 % d’intérêts simples. Capital au bout des 5 ans : 50 000 + 50 000 × 0,06 × 5 = 65 000 €. Liens avec le programme de mathématiques : Première – suites arithmétiques.
II) Les intérêts composés – Valeur acquise
Les intérêts sont dits intérêts composés lorsqu’ils s’ajoutent en fin de chaque période au capital, et qu’ils produisent alors eux même des intérêts au cours de la période suivante. Formules : Can = C × (1 + t) Ca n C= (1 + t ) n n Can = capital acquis au bout de n années. C : capital placé. t : taux d’intérêt annuel.
Ca t= n C
1/ n
−1
n : durée du placement en années. 12 Si l’on donne un taux mensuel de t1 %, cela correspond à un taux annuel t = (1 + t1) - 1. Si la période de capitalisation est inférieure à 1 an, alors t est le taux par période et n le nombre de périodes. Exemples : a. 50 000 € placés pendant 5 ans à un taux de 6 % d’intérêts composés. 5 Capital au bout des 5 ans (valeur acquise) : 50 000 × (1 + 0,06) ≈ 66 911,28 €. b. 50 000 € placés pendant 3 mois à un taux annuel de 6 % d’intérêts composés. 0,25 3 mois = 0,25 an d’où : Capital au bout des 3 mois : 50 000 × (1 + 0,06) ≈ 50 733,69 €. c. 50 000 € placés pendant 3 mois à un taux mensuel de 0,6 % d’intérêts composés. 3 Capital au bout des 3 mois : 50 000 × (1 + 0,006) ≈ 50 905,41 €. 12 Ou bien : t = (1 + 0,006) − 1 ≈ 7,4424168 %. 0,25 D’où : Capital au bout des 3 mois ≈ 50 000 × (1 + 0,074424168) ≈