Matrices et déterminants
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Matrices et déterminants
Généralités sur les matrices
Exercice 1 [ 00700 ] [correction] Soit A une matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existe λ ∈ K tel que A2 = λA. Exercice 2 [ 00702 ] [correction] Résoudre l’équation X 2 = A où 1 0 A= 0 4 0 0 1 2 16
Exercice 6 Centrale MP [ 02390 ] [correction] Soit n un entier 2 et A un hyperplan de Mn (C) stable pour le produit matriciel. a) On suppose que In ∈ A. Montrer, si M 2 ∈ A, que M ∈ A. En déduire que pour / tout i ∈ {1, . . . , n} que la matrice Ei,i est dans A. En déduire une absurdité. b) On prend n = 2. Montrer que A est isomorphe à l’algèbre des matrices triangulaires supérieures. Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02687 ] [correction] Soient A, B ∈ Mn (R) où B est nilpotente et commute avec A. Montrer que A et A + B sont simultanément inversibles.
Commutation de matrices
Exercice 8 [ 00697 ] [correction] On suppose que A, B ∈ Mn (K) commutent et que A est inversible. Justifier que A−1 et B commutent. Exercice 9 [ 00709 ] [correction] a) Quelles sont les matrices de Mn (K) commutant avec toutes les matrices de Mn (K) ? b) Même question aves les matrices commutant avec toutes celles de GLn (K). Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 02689 ] [correction] Soient n ∈ N , α1 , . . . , αn des complexes distincts, A = diag(α1 , . . . , αn ) et C(A) = {M ∈ Mn (C), AM = M A} Montrer que (Ak )0 k n−1
Exercice 3 [ 00703 ] [correction] a) Monter qu’une matrice A ∈ Mn (K) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente. b) Soit f : Mn (K) → K une application vérifiant : f (On ) = 0, f (In ) = 1 et pour tout A, B ∈ Mn (K), f (AB) = f (A)f (B) Montrer que A ∈ Mn (K) est inversible si, et seulement si, f (A) = 0.
[ 00707 ] [correction] ∞ Soit S(x) = an xn le développement en n=0 N a) Pour N ∈ N, on pose SN = an xn et n=0 (SN (x))2 − 1 − x est un polynôme dont la
Exercice 4
série entière de x →
+∞
√
1