Expression de tan (α) l’angle qui permet d’atteindre le point Mlp

Tan (α) sera de la forme (-b)/2a donc

tan⁡( a) (〖2V〗_0^2)/((gx_lp)/2)=(2V_0^2)/(2gx_lp )
L’expression de tan(a) est : tan(a)= (2V_0^2)/(2gx_lp )

Calcul de tan(a) et tan(a), les 2 angles permettant d’attendre le point A.

Nous allons utiliser la formule (-b±√∆)/2a car nous avons 2 solutions.

〖tan⁡(α〗_1)=(-(-(〖2V〗_0^2)/(gx_a ))-√∆)/2=(V_0^2)/(gx_a )-√∆/2= (V_0^2)/(gx_a )-√((4.V_0^4)/(g^2 x_a^2 )-(8.V_0^2.z_a)/(gx_a^2 )-4)/2
〖tan⁡(α〗_2)=(-(-(〖2V〗_0^2)/(gx_a ))+√∆)/2=(V_0^2)/(gx_a )+√∆/2=(V_0^2)/(gx_a )+√((4.V_0^4)/(g^2 x_a^2 )-(8.V_0^2.z_a)/(gx_a^2 )-4)/2

Je conclus que nous avons nos 2 tan(a) qui correspond aux 2 angles qui permettent d’atteindre le point A.

Calcul des coordonnées du point culminant de la courbe zlp=f (xlp)

La fonctionz_lp=(V_0^2)/2g-(gx_lp^2)/(2V_0^2 ), doit être dérivée pour avoir son point culminant :

f(z_lp)'=((V_0^2)/2g-(gx_lp^2)/(2V_0^2 ))²=(gx_lp)/(V_0^2 )
Pour xlp =0, on atteint le point culminant, si on remplace xlp =0, dans

z_lp=(V_0^2)/2g-(gx_lp^2)/(2V_0^2 ),
On obtient alors, z=(V_0^2)/2g Résolution de dz/dα=0 pour obtenir tan(Alp)
On sait que : z=(-gx²)/(2Vo²cos²(α))+tan⁡(α)x Donc : dz/dα= (-gx^2)/(2V_0^2 ).2sinα/(〖cos〗^3 α)+x/(〖cos〗^2 α)= (-gx^2 tanα)/(V_0^2 〖cos〗^2 α)+x/(〖cos〗^2 α) tan⁡(a)gxlp=V0² donc : tan⁡(a)=(V_0^2)/(gx_lp )

Ce qui implique que :

tan α_lp=(V_0^2)/(g√(-〖2V_0^2 z〗_lp/g+(V_0^4)/g^2 ))
Nous retrouvons l’expression de la question II.3)

Applications numériques

Calcul de xlp pour un sauteur en longueur

〖 x〗_lp=√((V_0^4)/g^2 -〖2V_0^2 z〗_lp/g)=x_lp=√((〖10〗_^4)/〖9.81〗^2 -〖2〖V10〗_^2*0〗_ /9.81)=11 m tan α_lp=(V_0^2)/(g√(-〖2V_0^2 z〗_lp/g+(V_0^4)/g^2 ))= 10²/(g√(-(10²*0)/9.81+(10^4)/〖9.81〗^2 )) = 45°
Pour un sauteur en longeur xlp=11m et a=45°

Calcul de xlp pour un cascadeur

x_lp=√((V_0^4)/g^2 -〖2V_0^2 z〗_lp/g)=x_lp=√((〖10〗_^4)/〖9.81〗^2