Chapitre III : Cinématique d’un point matériel

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ÉNONCE ET SOLUTION DES EXERCICES
Exercice 1 : Questions de cours



Soit O ,e x ;e y ;e z

 un repère cartésien lié à un référentiel que l’on note R.

1 - Définir les coordonnées cartésiennes (x, y, z) et les coordonnées cylindriques (ρ, φ, z) d’un point M. Quel est l’intérêt des coordonnées cylindriques ? Définir les coordonnées polaires. Donner les relations entre coordonnées cartésiennes et cylindriques. 2 - Définir une base locale. Exemple : définir la base locale cylindrique

O ,e

 ;e  ;e z

 . Calculer les composantes cartésiennes des vecteurs de la base

locale cylindrique.
3 - Donner l’expression du vecteur position OM en fonction des coordonnées cartésiennes dans la base cartésienne et des coordonnées cylindriques dans la base cylindrique. 4 – a) Calculer les dérivées temporelles des vecteurs de la base cylindrique par rapport à R.
b) En déduire les expressions des vecteurs vitesse v et accélération base cylindrique.

 dans la

Solution exercice 1. (Voir cours)
Il est impératif que l’étudiant se familiarise avec les différents systèmes de coordonnées, et surtout les coordonnées polaires (cylindriques avec z = 0) qu’on retrouvera lors de l’étude du chapitre réservé aux forces centrales.
Exercice 2.
  
Soit un point matériel M mobile dans un repère  O, i , j , z . Le point M est repéré par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z) telles que :





 t2  xt   4t , yt   4t 1   , z t   t 3  t 2 
3


1 - Calculer les composantes du vecteur vitesse Vm M  moyenne entre

instants t1 = 2 s et t2 = 3 s, en déduire Vm M  .


2 - Calculer le vecteur vitesse instantanée VM  en déduire VM  .

3 - Calculer les composantes du vecteur accélération m M  moyenne entre

instants t1 = 2 s et t2 = 3 s, en déduire m M  .


4 - Calculer le vecteur accélération instantanée M , en déduire M  .
2

Solution