‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻻﺷﺘﻘﺎق – ﺗﻤﺜﻴﻞ داﻟﺔ‬
‫1- ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق و اﻟﻤﻄﺮاف‬ ‫أ( ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ I‬و ‪x0 ∈ I‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0‪ x‬و ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻓﻲ 0‪x‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺼﻮى ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻋﻨﺪ 0‪x‬‬

‫‪∀x ∈ J‬‬

‫وﻣﻨﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ J‬ﻣﺮآﺰﻩ 0‪ x‬ﺿﻤﻦ ‪ I‬ﺣﻴﺚ ) 0‪f ( x ) ≤ f ( x‬‬
‫‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0‪ x‬وﻣﻨﻪ ) 0‪f ' ( x0 ) = f d ' ( x0 ) = f g ' ( x‬‬

‫‪f ' ( x0 ) = lim‬‬
‫0‪∀x ≤ x‬‬ ‫) 0‪f ( x ) − f ( x‬‬ ‫0‪x − x‬‬ ‫0‪ ∀x ≥ x‬و 0 ≥‬
‫;‬

‫) 0‪f ( x ) − f ( x‬‬ ‫0‪x − x‬‬

‫) 0‪f ( x ) − f ( x‬‬
‫أي أن 0 ≥ ) 0‪f ' ( x‬‬

‫+‬ ‫0‪x→ x‬‬

‫‪= lim‬‬

‫) 0‪f ( x ) − f ( x‬‬ ‫0‪x − x‬‬

‫−‬ ‫0‪x→ x‬‬

‫أي‬

‫0 ≤ ) 0‪ f ' ( x‬اذن 0 = ) 0‪f ' ( x‬‬

‫0‪x − x‬‬

‫‪ ∀x ∈ J‬ﻓﺎن 0 ≤‬
‫0 ≤ ) 0‪f d ' ( x‬‬

‫و ﺣﻴﺚ ) 0‪f ( x ) ≤ f ( x‬‬

‫;‬

‫وﻣﻨﻪ 0 ≥ ) 0‪f g ' ( x‬‬

‫اذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0‪ x‬و ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0‪ x‬ﻓﺎن 0 = ) 0‪f ' ( x‬‬
‫0 = 0‪x‬‬ ‫;‬ ‫ﻣﺜﺎل 3‪f ( x ) = x‬‬
‫‪f‬‬

‫) إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻴﺎ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻋﻨﺪ 0‪ x‬ﻧﺘﺒﻊ ﻧﻔﺲ اﻟﺨﻄﻮات ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ(‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻟـﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻓﺘﻮح ‪ I‬و ‪x0 ∈ I‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ: اﻟﻤﺒﺮهﻨﺔ ﻻ ﺗﻘﺒﻞ اﻟﻤﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬
‫ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0= 0‪ x‬و 0 = ) 0 ( ' ‪f‬‬

‫و ﻣﻊ ذﻟﻚ ‪ f‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻋﻨﺪ 0‬

‫‪∀x ∈ I‬‬ ‫‪∀x ∈ I‬‬

‫2- اﻻﺷﺘﻘﺎق ورﺗﺎﺑﺔ داﻟﺔ‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻟـﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺎﺑـﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘــــــﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ )ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ ‪ I‬إذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬أي 0 ≥ ) ‪f ' ( x‬‬ ‫‪( ∀x ∈ I‬‬ ‫‪( ∀x ∈ I‬‬
‫‪∀x ∈ I‬‬ ‫)‪f '( x‬‬

‫) ' ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬أي 0‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ )ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ ‪ I‬اذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬أي 0 ≤ ) ‪f ' ( x‬‬ ‫) ' ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬أي 0 ≺ ) ‪f ' ( x‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬إذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬أي 0 = ) ‪f ' ( x‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ 1 + ‪f ( x ) = x3 − 6 x‬‬
‫) ﻓﻲ ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات ﻳﺠﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت(‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮا ت ‪f‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻄﺎرﻳﻒ ‪ f‬ان وﺟﺪت‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0‪x‬‬ ‫‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ