PHYSIQUE I ---2008 QUELQUES OSCILLATIONS Corrigé de M ELABDALLAOUI Professeur agrégé CPGE Marrakech

I. —Rail fixe 1— la vitesse du point I est nulle : ⌢ ɺ⌢ ⌢ ɺ ⌢ ɺ ɺ v ( I ) = v (C ) + Ω ∧ CI = ( R − r ) α α + θ k ∧ r r = ( R − r ) α + r θ α ce qui donne

ɺ ( R − r )α

(

)

ɺ +rθ = 0

Si r = R le contact n’est pas ponctuelle.la sphère ne roule pas sans glissement. 2—l’énergie cinétique est : 1 1 ɺ 1 7  ɺ 2 ɺ Ec= E* + mV(C) = J θ 2 + m (R-r)2 α 2 =  (R − r ) 2  m α 2 c 2 2 2  10  L’énergie potentielle :
Ep=-mg (R-r) cosα + Cste Le système est conservatif, l’énergie mécanique E t =Ec+Ep est conservée,

ɺ ɺ Si r > α la bille roule trop vite ɺ ɺ α et θ Ont des signes opposés .

dE t = 0 ce qui dt

ɺɺ donne : α (t ) +

5g sin α (t ) = 0 7( R − r )
7( R − r ) 5g

3— la période des petites oscillations T po = 2π

4— la sphère qui glisse sans rouler arrivera la première : En effet dans le cas d’un roulement sans glissement ⇒ 1 1 ɺ 1 7  ɺ 2 ɺ Ec= E* + mV(C) = J θ 2 + m (R-r) 2 α 2 =  (R − r ) 2  m α12 c 2 2 2  10  Ep=-mg (R-r) cosα + Cste Et dans le cas d’un glissement sans roulement E* = 0 ⇒ c
1 1 1  ɺ2 2 ɺ  Ec= E* + mV(C) = m (R-r) 2 α 2 =  ( R − r ) 2  m α 2 c 2 2 2  Ep=-mg (R-r) cosα + Cste 7  ɺ 1  ɺ2 ɺ2 ɺ Donc  ( R − r ) 2  m α12 =  ( R − r ) 2  m α 2 càd α 2 > α12 le roulement sans glissement  10  2  est plus rapide. Ce résultat ne dépend pas de la masse . 5— pour le cas d’un glissement sans roulement 1 2 ɺ2  ( R − r )  m α + m g (R-r) ( cosα 0 − cosα ) = 0 ⇒ 2   M EL ABDALLAOUI

ɺ α2 =

g (R-r) ( cosα-cosα 0 1 (R − r )2 2

)⇒
)
⇒

ɺ α =−

g (R-r) ( cosα-cosα 0 1 (R − r )2 2 1 (R − r ) 2 2 dt = − g (R-r) ( cosα-cosα 0

)

d α ⇒ τ = −∫

0

α0

1 (R − r ) 2 2 g (R-r) ( cosα-cosα 0

)

dα

τ =−

0 1 1 (R − r )2 ∫ α0 2 g (R-r) ( cosα-cosα 0

)

dα

' En déduit τ = −

0 7 1 (R − r )2 ∫ α 0 g (R-r) cosα-cosα 10 ( 0

)

dα

Le rapport est :

τ' 7 = ⇒ τ ' >τ 5 τ