TP1 d’intégration numérique d’équations différentielles Modèle marchand-voleur
L’équation logistique de Lotka-Volterra modélise l’évolution d’une population de marchands et de voleurs. En l’absence de voleur, les marchands suivent une croissance exponentielle. En l’absence de marchand, les voleurs suivent une décroissance exponentielle. La croissance des voleurs – au-delà de cette décroissance exponentielle – est liée linéairement au nombre de marchands volés ; cette quantité est proportionnelle au produit des marchands par les voleurs.
Si m est la population de marchands, v celle de voleurs, l’équation logistique s’écrit : ( m′(t) v′(t)
)
=
(
m(t) · (2− 0.05 · v(t))
−v(t) · (1− 0.0001 ·m(t))
)
1) Trouver le nombre de …afficher plus de contenu…

Donc à Bagdad, il y a un point d’équilibre pour 40 voleurs et 10000 marchands.
�
Après des siècles de stabilité, Ali Baba a capturé les voleurs, mais trois d’entre eux viennent de s’évader. Comment évoluera la cité ?
2) Sous Python, créez une fonction d’évolution qui donne le vecteur
(
m′(t) v′(t) ) en fonction du point
(
m(t) v(t) )
.
3) Simuler le comportement des populations avec le schéma d’Euler. Faire varier le pas h.
La simulation donne m(t) ∈ [60, 70000] et v(t) ∈ [2, 200]. Ainsi a− bm > −8 et dv − c > −0.994. �
14) Écrire un schéma de Runge-Kutta à l’ordre 2 vu lors du TD2 précédent pour un paramètre λ :{ yk+1 = yk + h (c1f(tk,yk) + c2f(tk + λh,yk + …afficher plus de contenu…

Faire varier le pas de temps h et le paramètre λ ; on pourra prendre les valeurs 1
2 , 2
3 , 1 et 2 pour λ.
5) Écrire un schéma de Runge-Kutta d’ordre 3 en utilisant la table de
Butcher suivante:
0
1/3 1/3
2/3 0 2/3
1/4 0 3/4 yn+1 = yn +
1
4
(k1 + 3k3) (3)
avec