Modèles stochastiques financiers

Pages: 81 (20240 mots) Publié le: 23 février 2011
MODELES MATHEMATIQUES DE LA FINANCE (Prof. Pierre Devolder)
Année académique 2009- 2010

Prédire est un art difficile… surtout s’il concerne le futur… Niels BOHR ( 1885- 1962)
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PLAN DU COURS
• PARTIE 1 : LES ACTIFS DERIVES • PARTIE 2 : MODELES STOCHASTIQUES DISCRETS • PARTIE 3: CALCUL STOCHASTIQUE • PARTIE 4: MODELES STOCHASTIQUES EN TEMPS CONTINU

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PARTIE 1: Les actifs dérivés
• • • • 1.1 Introduction 1.2 Les options classiques 1.3 Les options exotiques 1.4 Un premier exemple de pricing par arbitrage

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PARTIE 2 : Modèles stochastiques discrets
• 2.1 Modèle discret général • 2.2 Modèle binomial de COX-ROSSRUBINSTEIN • 2.3 Théorème général de tarification neutre risque • 2.4 Modèle de courbe de tauxHO et LEE

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PARTIE 3 : Calcul stochastique
• • • • • • 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Motivation Processus stochastiques en temps continu Le mouvement brownien Intégration stochastique – Lemme de ITO Equations différentielles stochastiques Théorème de GIRSANOV

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PARTIE 4 : Modèles en temps continu
• 4.1 Modèle brownien additif et géométrique• 4.2 Modèle de BLACK SCHOLES • 4.3 Modèles de courbe de taux de VASICEK et HULL & WHITE • 4.4 Mesure forward neutre et tarification d’options sur zéro coupons • 4.5. Dérivés de taux : swaps, caps et floors
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REFERENCES
BINGHAM N.H. / KIESEL R. : Risk neutral valuation ( Springer) MUSIELA M./ RUTKOWSKI : Martingale methods in financial modelling ( Springer)
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4 REFERENCES (2)
HULL J.C. : Options, Futures and other derivatives ( Prentice-Hall) SHREVE S.: Stochastic calculus for finance (vol. 1 and 2) ( Springer)
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PARTIE 1
Les actifs dérivés

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1.1 Introduction
FINANCE = Allocation de ressources rares au cours du temps 2 caractéristiques : 1° le temps 2° l’incertitude PRODUIT FINANCIER = Ensemble de cash flows futursdéfinis selon une règle établie à priori

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Introduction
2 problèmes fondamentaux de la finance de marché : - le pricing ( tarification) : quel est la valeur initiale d’un produit financier tenant compte à la fois de la répartition temporelle et de l’incertitude ? -le hedging ( couverture) : comment l’intermédiaire financier qui émet le produit peut-il se couvrir face auxrisques?

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Produits financiers
- Les obligations - Les actions - Les produits dérivés: - contrats à terme - options classiques - options exotiques … incertitude et risques croissants … !!!
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Les obligations
OBLIGATION : titre financier représentatif d’un droit de créance et donnant droit à la réception de différents flux financiers fixés à desdates d’échéances futures fixées - coupons: versements intermédiaires - remboursement au terme OBLIGATION ZERO COUPON :obligation à coupons nuls OBLIGATION A TAUX FIXE : coupons déterministes OBLIGATION A TAUX VARIABLE : coupons liés à un indice de nature aléatoire
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Les obligations
Quelques propriétes des obligations : 1° titre mortel ; 2° toute obligation à taux fixepeut se décomposer en une somme de zéro coupons ; 3° risques d’une obligation à taux fixe ( flux déterministes): - risque de réinvestissement des coupons - risque de réalisation

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Les obligations
Structure des prix des zéro coupons : -espace des temps discret : T = {0,1,2,…N} - structure des prix des zero coupons: P(s,t) = prix à l’instant s d’un zéro coupon échéant àl’instant t ( s S(T)

C(T)

= max {0, S(T) - K}

S(T)
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Valorisation
Hypothèses sur les marchés financiers : 1° marchés supposés parfaits : - aucun investisseur n’est dominant ( financial agents are price takers and not price makers) - les investisseurs sont rationnels ( financial agents prefer more to less ) - les titres sont infiniment divisibles - pas de...
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