Annexe n°3

Le Modèle Linéaire Général

1. Estimation des paramètres du modèle
Soit le modèle linéaire général : estimé est :

Yi = γ 0 + γ 1 X 1i + γ 2 X 2i + L + γ k X ki + U i (i = 1,L, n) . Yi = γˆ0 + γˆ1 X 1i + γˆ 2 X 2i + L + γˆ k X ki + ei

Le modèle

La forme matricielle de ces n équations est :

⎡Y1 ⎤ ⎡1 X 11 L ⎢Y ⎥ ⎢1 X L 12 ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎢ M ⎥ ⎢M M L ⎢ ⎥ ⎢ ⎣Yn ⎦ ⎣1 X 1n L (n ;1) = (n ; k + 1)

X k 1 ⎤ ⎡γˆ0 ⎤ ⎡ e1 ⎤ ⎥ ⎢ γˆ ⎥ ⎢e ⎥ X k2 ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 2⎥ ⎢M⎥ M ⎥ ⎢M⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ X kn ⎦ ⎣γˆ k ⎦ ⎣e n ⎦ × (k + 1 ;1) + (n ;1)

Le vecteur paramétrique à estimer est : γ 0 ; γ 1 ; γ 2 ; γ k et σ 2

ˆ Pour calculer γ , le principe est toujours le même : Il s’agit de minimiser la SCR =

∑e

2 i

= e ' e (Evidemment, on suppose que le modèle est

plausible, c'est-à-dire que toutes les hypothèses attachées à la valeur résiduelle sont respectées), ce qui donne

γˆ = (X ' X ) X 'Y
−1

Les paramètres des estimateurs sont les suivants :

E (γˆ ) = γ

ˆ ; V (γ ) = σ 2 X ' X

(

)

−1

XIV

Annexe n°3

ˆ Remarque : Pour estimer la variance de γ , il s’agit d’estimer σ 2
ˆ σ =
2

n − k −1

∑e

2 i

2. Tableau d’analyse de la variance
Le tableau permettant l’analyse de la variance pour un m lg est : Source de ∆

X 1 , X 2 ,L, X k

Résidu Total

∑ des carrés ˆ SCE = ∑ y SCR = ∑ e SCT = ∑ y
2 i 2 i 2 i

ddl

Carrés moyens

k n − k −1 n −1

SCE / k
SCR / n − k − 1

3. Le coefficient d’explication multiple R2
Pour un m lg , ce coefficient permet de mesurer la proportion de la variation de Y expliquée par l’ensemble des variables explicatives X 1 , L , X k . On peut écrire :

R

2

ˆ ∑y = ∑y

2 i 2 i

=

γˆ ' x ' y y' y

=

γˆ1 ∑ x1i yi + γˆ2 ∑ x2i yi + Lγˆk ∑ xki yi

∑y

2 i

Nous remarquons que le dénominateur de cette équation est égal à n V (Y ) , C’est donc une constante (hypothèse d’homoscédasticité). Pour le numérateur, on peut noter que le signe de γˆ j suit toujours celui de

∑x