TP1- EDO : Vibrations d’un système à n ressorts

1 Prise en main : Oscillateur harmonique

Soit la fonction numérique; Unum :Unum=D*sin(tk/m)
D=K=n==1

On a aussi la fonction obtenue analytiquement; Uexact : Uexact=sin(t)

Comparons ces deux fonctions à l'aide d'un graphique :

Unum → ronds bleus
Uexact → rouge

On peut observer que Unum correspond bien à Uexact

2 Système à ressorts

Voici les différents programmes et leurs fonctions:

init_ressort.m :

il permet de choisir une masse comprise entre 1 et 2 grâce à l'utilisation de la fonction rand() qui génère un nombre aléatoire entre 0 et 1 (dans notre cas). Il permet également de fixé k entre 0,5 et 1,5 en utilisant la même méthode que pour m.

manipfilm.m :

ce programme permet de lancer l'animation (appelle init_ressort et film_pbdir_ressort avec m et k obtenus aléatoirement) et d'interagir avec l'animation (indiqué quand l'animation est finie).

spectre.m :

calcule les valeurs propres lamda et les constantes u correspondantes à lachaîne de ressorts définie par m et k . Lambda et u sont les données du problème inverse.

film.m :

illustre par une animation le calcul de la vibration d'une chaîne de N ressorts de raideurs k(i), reliant N masses m(i) (i varie de 1 à N). Cette chaîne est excitée à l'une de ses extrémités par une force, l'autre extrémité étant fixe.

Que nous donne la simulation?

Lorsque l'on exécute manipfilm.m, on choisi le nombre de masse N et l'animation se lance. On peut observer le mouvement selon x des masses sur une corde (qui représente le système de ressort). Le mouvement est provoqué par une excitation sur une extrémités de la corde alors que l'autre est fixe.

3 La corde vibrante

Méthode de l'expérience :

On approche la corde vibrante par la chaine des ressorts aligné

Instant initial :

la corde est immobile et on la frappe à l'aide d'un marteau. y 0=0 et dy/dt 0=v 0

La vitesse à t=0 :

∂y/∂t t=0, x =h